вычислить площать замкнутой фигуры

[d.dragon.n76]

Дана система точек, образующая замкнутую фигуру $M=\{(x_i,y_i) | i=0,\dots,n-1\}$

Нужен алгоритм вычисляющий площадь фигуры, ограниченной этой системой $M$. Известно, что кривая сама себя не пересекает.

[ewert]

Просто сумма площадей треугольников, отсчитавыаемых, например, от начала координат. С учётом знаков, разумеется. Что автоматически получится, ежели те площади считать через соотв. векторные произведения.

[d.dragon.n76]

ewert в сообщении #223443 писал(а):

Просто сумма площадей треугольников, отсчитавыаемых, например, от начала координат. С учётом знаков, разумеется. Что автоматически получится, ежели те площади считать через соотв. векторные произведения.

Спасибо. Выбрал центр тяжести.

[ewert]

Да любая точка сгодится в качестве центра. Надо только перебирать вершины аккуратно в порядке их следования. А потом взять получившуюся сумму по модулю (чтоб не заморачиваться с направлением обхода).

[tpc]

Ну да,

$$ \left | \sum_{i=1}^n \frac{x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i}{2} \right | $$

[d.dragon.n76]

tpc в сообщении #223486 писал(а):

Ну да,

$$ \left | \sum_{i=1}^n \frac{x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i}{2} \right | $$

Есть подозрения, что площадь вот такой вто кривой неверно считается.

[worm2]

Имелось в виду, что кривая на самом деле не совсем кривая, а многоугольник, т.е. отрезки между точками $(x_i, y_i)$ и $(x_{i+1}, y_{i+1})$ --- прямые. Ну и подразумевается, что индексы в формуле циклические, т.е. $x_n = x_0$, $y_n = y_0$ и т.п.

Тогда формула работает.

Для "настоящей" кривой (не многоугольника) можно её параметризовать и перейти в формуле к пределу при неограниченном сгущении точек разбиения. Но если нужно посчитать приблизительно, то пойдёт некоторое (достаточно "густое") приближение её многоугольником.