функциональная последовательность

[apls]

Нужно исследовать последовательность на равномерную сходимость:
$f_n(x) = exp(-2x^2 - 3nx)$
на множестве $E = (0;1)$

По Коши не получается. Я имею право найти максимальное значение функции и ограничить этим значением? Взял производную по x, приравнял к нулю, отсюда x = -(3/4)n, тогда функция максимальна в точке f(0) = 1. И этой единицей я имею право ограничить всю последовательность и сказать, что она сходится равномерно?

[Gortaur]

Посмотрите, куда функция сходится поточечно (зафиксируйте $x$):
1. если функция будет разрывна - ни о какой равномерной сходимости речь не идет;
2. если непрерывна, то рассмотрите $m_n = \sup\limits_E{|f - f_n|}$, где $f(x)$ - поточечный предел последовательности. Равномерная сходимость имеет место тогда и только тогда, когда $m_n\rightarrow 0,n\rightarrow \infty$.

У меня сходимость не получилась. На каком пункте - не скажу )

[SashaKn]

Вот если честно, то я не знаю.
Но думаю, что учебник за 5 класс тебе помог бы!

[ewert]

apls в сообщении #223271 писал(а):

По Коши не получается.

Доказывайте отсутствие равномерной сходимости, ибо она здесь неправдоподобна: если отрезок замкнуть, то её заведомо не будет -- ввиду разрывности предельной функции.

[apls]

2Gortaur:
получается следующее:
$m_n = 1 - exp(2nx^2 - 3nx)$
$\lim m_n = 1$
верно?

-- Пт июн 19, 2009 14:53:57 --

ewert в сообщении #223279 писал(а):

apls в сообщении #223271 писал(а):

По Коши не получается.

Доказывайте отсутствие равномерной сходимости

вот как раз это и не получилось

ewert в сообщении #223279 писал(а):

если отрезок замкнуть, то её заведомо не будет

замкнуть вы имеете ввиду взять E = [0;1]? а разве мы имеем право так делать?

[ewert]

Gortaur в сообщении #223273 писал(а):

2. если непрерывна, то рассмотрите $m_n = \max\limits_E{|f - f_n|}$, где $f(x)$ - поточечный предел последовательности.

Только не $\max,$ а $\sup,$ а что такое $E$ -- я не знаю.

[apls]

ewert в сообщении #223284 писал(а):

а что такое -- я не знаю.

E - это множество всех x.

[Gortaur]

Скорее всего, лень считать - в 0 там будет разрыв у предельной функции как раз в 1. Так что вполне логично, что на открытом интервале максимум разности будет дето адын.

2 г-н ewert

согласен, но только вот Е он наверху определил. Мне просто показалось, что он про отрезок говорил. А так за путаницу с супом и максом прошу прощения, нельзя так конечно

==
У вас тут такая оживленная дискуссия, что я минут 5 не мог запостить - мне все время говорили, что новые сообщения.

[ewert]

apls в сообщении #223282 писал(а):

а разве мы имеем право так делать?

Нет, не имеем. Это лишь наводящее соображение, показывающее, что равномерность как минимум малоправдоподобна.

apls в сообщении #223282 писал(а):

вот как раз это и не получилось

По (не очень аккуратно оформленному) предложению Gortaur рассмотрите $\sup\limits_{(0;1)}|f(x)-f_n(x)|=\sup\limits_{(0;1)}|f_n(x)|,$ он вполне очевиден.

[Gortaur]

apls в сообщении #223285 писал(а):

ewert в сообщении #223284 писал(а):

а что такое -- я не знаю.

E - это множество всех x.

Рекомендую воздержаться от таких заявлений, особенно на этом форуме. Оно ой как неоднозначно.

-- Пт июн 19, 2009 15:01:03 --

ewert в сообщении #223288 писал(а):

По (не очень аккуратно оформленному) предложению Gortaur рассмотрите $\sup\limits_{(0;1)}|f(x)-f_n(x)|\sup\limits_{(0;1)}|f_n(x)|,$ он вполне очевиден.

Я не понимаю смысла умножения этих пределов. Это сейчас модно?

[jetyb]

$\forall\varepsilon >0\forall x\in(0;1)\exists n:\forall m>n \quad |e^{-2x^2-3nx}-e^{-2x^2-3mx}|=\\=e^{-2x^2}|e^{-3nx}-e^{-3mx}|<e^{-2x^2-3nx}<\varepsilon$

[ewert]

Жуть какая-то. Просто каждая из функций стремится при $x\to0$ к единице, поэтому тот супремум уж никак не меньше единицы -- и, следовательно, не может стремиться к нулю при $n\to\infty.$.

Gortaur в сообщении #223289 писал(а):

Я не понимаю смысла умножения этих пределов. Это сейчас модно?

Вы слишком быстро ответили. А вот секунд через двадцать уже увидели бы знак равенства.

[Gortaur]

ewert
Собственно, в сабже и было написано то же самое ))) только автор неправильный вывод сделал.

[ewert]

Gortaur в сообщении #223296 писал(а):

Собственно, в сабже и было написано то же самое )))

Да тут как ни пиши, всё одно и то же выйдет.

Да, и кстати:

jetyb в сообщении #223291 писал(а):

$\forall\varepsilon >0\forall x\in(0;1)\exists n:\forall m>n \quad |e^{-2x^2-3nx}-e^{-2x^2-3mx}|=\\=e^{-2x^2}|e^{-3nx}-e^{-3mx}|<e^{-2x^2-3nx}<\varepsilon$

Кванторы переставлены. Надо $(\forall\varepsilon >0)\ \exists n: \ (\forall x\in(0;1),\ \forall m>n) ...$

[Gortaur]

Жаль, что автор замолчал.