Ноль, интеграл от корого единица.

[Gortaur]

Про забор читал ) очень правильный человек, относящийся к математике, как к соревнованию в экстремальном спорте ))))

И прошу найти здесь ошибки, а не показываю здесь блестящее достижение. Просто это пример тому, как мы легко работаем с дельта-функцией, дифференцируем ее и т.д. Соответственно, оказывается далеко не все предельные конструкции так хороши. К примеру, $f_n \cdot \phi = average(\phi,[-n,n])$, но $f \cdot \phi = 0$.

[мат-ламер]

Gortaur. В приложениях чаще приходится интегрировать не саму дельту-функцию, а произведение дельта-функции на какую-нибудь другую функцию. Т.е. получается линейный функционал, который равен значению той другой функции в какой-то точке.

[Gortaur]

В своем предыдущем посте я писал именно $f\cdot \phi = \int{f(x)\phi(x)}{dx}$.

[Nxx]

Цитата:

К примеру, у 0 такой первообразной всегда будет только 0.

Нет

[oleg-spbu]

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\lim_{\epsilon->0}{\epsilon}{n}=?$$

[Gortaur]

Nxx
Как же?

oleg-spbu
Я не говорил о правомерности такого внесения предельного перехода под знак суммы или интеграла - но по-моему, это так же корректно, как и операции с дельта-функцией.

[ewert]

Gortaur в сообщении #223197 писал(а):

Я не говорил о правомерности такого внесения предельного перехода под знак суммы или интеграла

Нет, Вы ровно это и пытались сделать -- поменять местами предельный переход в последовательности и взятие интеграла:

Gortaur в сообщении #222703 писал(а):

Другое дело - если рассмотреть последовательность $\int\limits_a^b{f_n(x)}{dx} = 1$ при $n\rightarrow \infty$ и $f_n(x) >0 \forall x \in \mathbb{R}$.

В итоге получится функция, всюду равная 0, но интеграл от которой по $\mathbb{R}$ равен 1.

Однако для того, чтобы перестановка предельных переходов (а взятие интеграла или суммирование ряда подразумевает именно некий предельный переход) была корректной -- нужны какие-то основания. Например, наличие суммируемой мажоранты (чего в Вашем примере, разумеется, нет).

Случай с дельта-функцией в некотором смысле противоположен -- там предельная функция в классическом смысле не существует.