Пара вопросов по линейной алгебре (нормированные пространств

[Nimza]

1) Доказаны утверждения о компактности единичной сферы по $\[ \left\| . \right\|_2 \] $ и об эквивалентности любых двух норм в конечномерном пространстве.

Как отсюда вывести компактность единичной сферы по любой норме? Из рассмотрения произвольных последовательностей точек на этой сфере у меня ничего не выходит.

2) Известно, что $\[ \left\| A \right\|_\infty = \mathop {\max }\limits_{1 \leqslant i \leqslant m} \sum\limits_{j = 1}^n {\left| {a_{ij} } \right|} \] $ (матричная подчинённая норма). Удаётся показать, что на единичной сфере по норме $\[ \left\| . \right\|_\infty \] $ верно, что $\[ \left\| {Ax} \right\|_\infty \leqslant \mathop {\max }\limits_{1 \leqslant i \leqslant m} \sum\limits_{j = 1}^n {\left| {a_{ij} } \right|} \] $. Но не удаётся найти вектор, на котором этот максимум достигается.

[vlad239]

В метрическом пространстве компактность=замкнутость+ограниченность. Какое из этих свойств представляет затруднения?

Влад.

[Nimza]

Если пользоваться этой теоремой, то никаких: ограниченность -- сфера лежит в шаре немного большего радиуса с тем же центром, замкнутость -- если каждый элемент последовательности имеет норму 1, то и предел имеет норму 1 из предельного перехода в равенстве, а значит предел любой последовательности будет на сфере.

Но эта теорема не входит в курс, поэтому надо доказать исходя из определения: из любой последовательности точек сферы можно выделить подпоследовательность точек, сходящуюся к некоторой точке сферы.

[CowboyHugges]

Бррр...что-то я совсем туплю, Вы о конечномерных пространствах говорите?

vlad239 в сообщении #223132 писал(а):

В метрическом пространстве компактность=замкнутость+ограниченность. Какое из этих свойств представляет затруднения?

[vlad239]

Можно и из определения. Выберем последовательность точек с нормой 1. По эквивалентности они все лежат в некотором шаре (обычной метрики). Шар - компакт (или этим тоже нельзя пользоваться?), поэтому можно выбрать из этих точек сходящуюся подпоследовательность. Осталось доказать, что норма предела тоже будет 1. Это следует из того, что малое отличие в обычной метрике влечет и малое отличие по норме.

(Всегда ненавидел задачи "Выведите хрень из фигни, не пользуясь больше ничем").

Влад.

[мат-ламер]

Цитата:

Как отсюда вывести компактность единичной сферы по любой норме?

Эквивалентные нормы порождают одну и ту же топологию.

[AD]

CowboyHugges в сообщении #223138 писал(а):

Бррр...что-то я совсем туплю, Вы о конечномерных пространствах говорите?

Не-не, не тупите. В произвольных метрических пространствах, конечно же, не так просто всё. Там критерий Хаусдорфа.

О, слушайте, я задачку придумал. А можно ли утверждать, что все структуры пространства Фреше на конечномерных пространствах топологически эквивалентны? Не, конечно, дискретную метрику никто не отменял. А что если какую-нибудь там сепарабельность потребовать?

[ewert]

Nimza в сообщении #223129 писал(а):

1) Доказаны утверждения о компактности единичной сферы по $\[ \left\| . \right\|_2 \] $ и об эквивалентности любых двух норм в конечномерном пространстве.

Как отсюда вывести компактность единичной сферы по любой норме? Из рассмотрения произвольных последовательностей точек на этой сфере у меня ничего не выходит.

Тупо и в лоб. Берём любую последовательность на сфере. Извлекаем из неё подпоследовательность, сходящуюся по квадратичной норме (раз уж мы предположили, кчто компактность по квадратичной норме уже доказана). Любая другая норма подчинена квадратичной -- следовательно, и по любой другой норме выбранная подпоследовательность будет сходиться. Т.е. сфера предкомпактна по любой норме. Примерно так же и с замкнутостью.

Nimza в сообщении #223129 писал(а):

2) Известно, что $\[ \left\| A \right\|_\infty = \mathop {\max }\limits_{1 \leqslant i \leqslant m} \sum\limits_{j = 1}^n {\left| {a_{ij} } \right|} \] $ (матричная подчинённая норма). Удаётся показать, что на единичной сфере по норме $\[ \left\| . \right\|_\infty \] $ верно, что $\[ \left\| {Ax} \right\|_\infty \leqslant \mathop {\max }\limits_{1 \leqslant i \leqslant m} \sum\limits_{j = 1}^n {\left| {a_{ij} } \right|} \] $. Но не удаётся найти вектор, на котором этот максимум достигается.

Выберите ту строчку матрицы, вдоль которой сумма модулей элементов максимальна. И возьмете вектор, составленный из плюс-минус единиц (знак каждой единички берётся равным знаку соответствующего элемента выбранной строки матрицы).

[Nimza]

Цитата:

Тупо и в лоб. Берём любую последовательность на сфере. Извлекаем из неё подпоследовательность, сходящуюся по квадратичной норме (раз уж мы предположили, кчто компактность по квадратичной норме уже доказана).

Так компактность по квадратичной норме доказана лишь для сферы по квадратичной норме. Но с этой задачей я разобрался (оказалось, что вывести компактность из замкнутости и ограниченности не составило труда).

Цитата:

вектор, составленный из плюс-минус единиц

Точно! Спасибо!

[ewert]

Nimza в сообщении #223294 писал(а):

Так компактность по квадратичной норме доказана лишь для сферы по квадратичной норме.

Да, проблема понятна. На самом деле надо доказывать компактность не сферы, а шара (компактность сферы будет следствием, т.к. она есть замкнутое подмножество). А для шаров всё тривиально, т.к. они в силу эквивалентности норм вкладываются друг в друга.

[Профессор Снэйп]

Я не понял двух вещей.

1) При чём тут линейная алгебра?
2) Какого определение компактности, которую надо доказывать?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #223313 писал(а):

2) Какого определение компактности, которую надо доказывать?

Не "какого", а "каково". Анекдот в студию:

"Таможенник на эстоно-российской границе:

-- Кофе? -- нет, не кофе... Чай?... -- нет не чай... Какао?... -- О, какао!

Ка-ко-ва цель Вашего приезда?..."

[Nimza]

Цитата:

1) При чём тут линейная алгебра?

Ну а как ещё было назвать тему?) Это из курса по линейной алгебре.

Цитата:

2) Какого определение компактности, которую надо доказывать?

Множество точек метрического пространства компактно, если из любой последовательности точек этого множества можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке множества.

[Профессор Снэйп]

Nimza в сообщении #223362 писал(а):

Ну а как ещё было назвать тему?) Это из курса по линейной алгебре.

А у Вас ещё какие-нибудь математические курсы, вообще, были?

То, о чём Вы спрашиваете --- это совсем не "линейная алгебра". Гораздо ближе к таким дисциплинам, как "математический анализ" и "функциональный анализ".

-- Сб июн 20, 2009 11:39:46 --

Nimza в сообщении #223362 писал(а):

Множество точек метрического пространства компактно, если из любой последовательности точек этого множества можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке множества.

Ну, для метрических пространств, наверное, годится... Хотя это совсем не общепринятое определение!

-- Сб июн 20, 2009 11:40:55 --

ewert в сообщении #223342 писал(а):

Анекдот в студию...

Хочу ли я? Могу ли я? Говно ли я?... О, магнолия!

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #223473 писал(а):

То, о чём Вы спрашиваете --- это совсем не "линейная алгебра". Гораздо ближе к таким дисциплинам, как "математический анализ" и "функциональный анализ".

Функциональный -- да, а вот к математическому анализу это отношения не имеет.

Профессор Снэйп в сообщении #223473 писал(а):

Ну, для метрических пространств, наверное, годится... Хотя это совсем не общепринятое определение!

Достаточно общепринятое. Например:

Люстерник-Соболев писал(а):

Множество $K$, расположенное в метрическом пространстве $X$, называется компактным, если всякая последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся подпоследовательность.

(они, кстати, предпочитают пару "компактность/компактность в себе" паре "предкомпактность/компактность", для чего тоже есть некоторый резон).

И, что существенно, этот вариант определения наиболее целенаправлен (с точки зрения доказательства разных теорем существования).