То, о чём Вы спрашиваете --- это совсем не "линейная алгебра". Гораздо ближе к таким дисциплинам, как "математический анализ" и "функциональный анализ".
Функциональный -- да, а вот к математическому анализу это отношения не имеет.
Ну, для метрических пространств, наверное, годится... Хотя это совсем не общепринятое определение!
Достаточно общепринятое. Например:
Люстерник-Соболев писал(а):
Множество

, расположенное в метрическом пространстве

, называется
компактным, если всякая последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся подпоследовательность.
(они, кстати, предпочитают пару
"компактность/компактность в себе" паре
"предкомпактность/компактность", для чего тоже есть некоторый резон).
И, что существенно, этот вариант определения наиболее целенаправлен (с точки зрения доказательства разных теорем существования).