исследование ряда на сходимость

[apls]

Помогите, пожалуйста, исследовать данный ряд на сходимость.

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\int_{\pi n}^{\pi n + \pi} \frac{\sin(x)}{x^2} dx$$

[MGM]

apls в сообщении #223107 писал(а):

Помогите, пожалуйста, исследовать данный ряд на сходимость.

$$\sum\limits_{n = 1}^{Infinity}\int_{\pi n}^{\pi n + \pi} sin(x) / x^2 dx$$

Там и исследовать ничего не надо.
Он сходится абсолютно.

[apls]

это не очевидно, мне нужно доказать строго

[MGM]

apls в сообщении #223110 писал(а):

это не очевидно, мне нужно доказать строго

Пользуйтесь теоремой о среднем значении функции на интервале.

[apls]

Свел к знакочередующемуся ряду:
$\mu\sum\limits_{n = 1}^{Infinity} (-1)^n / (\pi n^2 + \pi n)$
По Т. Лейбница сходится. Большое спасибо.

[MGM]

Никак?
$\[ \int\limits_{\pi n}^{\pi \left( {n + 1} \right)} {\left| {\frac{{\sin \left( x \right)}} {{x^2 }}} \right|} dx \leqslant \frac{1} {{n^2 }} \]$
Может это наведёт на мысль.
Ну вот, сами нашли