Ряды Фурье...

[oleg-spbu]

1)Как можно продолжить функцию $f(x)=(x-2)^2$ заданную на промежутке $(0,\pi)$ сначала четным, а затем нечетным образом? Это же как-то некрасиво будет выглядеть на таком промежутке...обрыв в точке $\pi$ и $-\pi$

[ewert]

Ну, положим, обрывы будут только при нечётном продолжении, а при чётном -- всё будет непрерывно. Но дело даже и не в этом, а просто эстетика тут не при чём. Захотелось силовым образом продолжить -- ну и продолжаем, корректности задачи это не нарушает.

[demonafi]

$f(x)=(-x-2)^2$

[oleg-spbu]

Спасибо большое... Кто поможет с идеей решения следующего примера
разложить в ряд Фурье функцию, заданную графически...Непонятно как записать функцию в "виде формулы" Например, при х=-1 функция меняется от 0 до1, как учесть периодичность?

[ewert]

Выделите участок периодичности в центре (вокруг нуля). Он разбивается на два отрезка: на одном функция постоянна, на другом задаётся линейным выражением; так и пишите (с фигурной скобкой). На разрывность не обращайте внимания.

[oleg-spbu]

Спасибо! Ну я разложил на этом участке, но как учесть периодичность? Или это само собой учлось?

[Hymilev]

само учлось, только в точках разрыва ряд все равно не сходится к функции но это и не надо

[ewert]

Hymilev в сообщении #223024 писал(а):

только в точках разрыва ряд все равно не сходится к функции

да ваще-то сходится (к полусумме предельных значений), но это и впрямь никому не нужно

[MGM]

ewert в сообщении #223093 писал(а):

Hymilev в сообщении #223024 писал(а):

только в точках разрыва ряд все равно не сходится к функции

да ваще-то сходится (к полусумме предельных значений), но это и впрямь никому не нужно

Хреновенько, что, собсно, от этих Фурье рядов никто и не ожидает.
Затачивали совсем для других целей.

[AD]

MGM в сообщении #223104 писал(а):

Затачивали совсем для других целей.

Можно ли поинтересоваться, в чем именно заключалась заточка?

[ewert]

AD в сообщении #223145 писал(а):

Можно ли поинтересоваться, в чем именно заключалась заточка?

В получении наилучшего среднеквадратического приближения.

(можно подумать, что для Вас это новость...)

[MGM]

ewert в сообщении #223223 писал(а):

AD в сообщении #223145 писал(а):

Можно ли поинтересоваться, в чем именно заключалась заточка?

В получении наилучшего среднеквадратического приближения.

(можно подумать, что для Вас это новость...)

Не только.
Сам Фурье, как впрочем и более проворный Юнг, вероятнее всего,
ставили перед этим инструментом гавную цель - решить волновое уравнение.

ПС. О среднеквадратичном:
В 1989 году в IEEE PAMI была опубликована статья по минимизации ошибки восстановления 2D функции, по искажённым градиентам. В рамках задачи Shape from shadow.
Кто-то даже обозвал доказанную в статье теорему - фундаментальной теоремой Computer Vision.
При том, что математическая культура авторов оставляет желать лучшего.
Они там допустили ляп (чисто технический), который, судя по восстанавливаемым картинкам, так до сих пор никто и не исправил. Но так, как применимость и народохозяйсвенная значимость метода как-то усохла сама собой, ни у кого не возникло никаких конфузов.
Вот я всё и думаю про свой алгоритм...., то что в нашем сесаити никто не слышал о таком, ещё ни о чём не говорит.

[ewert]

MGM в сообщении #223231 писал(а):

Сам Фурье, как впрочем и более проворный Юнг, вероятнее всего,ставили перед этим инструментом гавную цель - решить волновое уравнение.

Ну мало ли о чём они думали, сочиняя эти ряды. Я имел в виду общепринятый сегодня "геометрический" подход к их определению.

[MGM]

ewert в сообщении #223235 писал(а):

MGM в сообщении #223231 писал(а):

Сам Фурье, как впрочем и более проворный Юнг, вероятнее всего,ставили перед этим инструментом гавную цель - решить волновое уравнение.

Ну мало ли о чём они думали, сочиняя эти ряды. Я имел в виду общепринятый сегодня "геометрический" подход к их определению.

Кстати, плохая сходимость, это для волнового уравнения как раз и не очень.

Например, замечательная пила имеет только счётное множество разрывов.
Её приближение рядом - тоже.
А вот производная от ряда не сходится ни в одной точке.
Что не есть хорошо, для подстановки в диффуры.

[AD]

ewert в сообщении #223223 писал(а):

В получении наилучшего среднеквадратического приближения.

(можно подумать, что для Вас это новость...)

Нет, вопрос был - какие именно параметры системы подвергались заточке.