Свойство подгруппы

[mihiv]

Пусть $G$ бесконечная группа, $H$ ее простая подгруппа конечного индекса. Доказать,что $H$ минимальный нормальный делитель конечного индекса в группе $G$.

[neo66]

Я бы не назвал эту задачу олимпиадной, просто некий стандартный (хоть и непростой) набор идей теории групп, скорее ее следовало бы поместить в раздел: "Помогите решить / разобраться", но, тем не менее ...

Пусть $H\subset G$. $N(H)$ нормализатор группы $H$, то есть $N(H)=\{g\in G: gHg^{-1}=H \}$. Тогда $H \subset N(H)$ и, значит, $N(H)$ - тоже конечного индекса.
Рассмотрим смежные классы: $b_1N(H), \dots b_k N(H)$ и группы $H_i=b_i H {b_i}^{-1}$. Посмотрим на пересечение всех этих групп - $N=\bigcap\limits_{i=1}^kH_i$. $N\subset H$ и $N$ - нормальна в $G$(и в $H$). Я не буду здесь доказывать нормальность группы $N$, чтобы не загромождать текст. Кроме того $N$ - нетривиальна, так как, иначе, индекс ее был бы бесконечен.

Так, как группа $H$ проста и $N$ нетривиально, то $N=H$, то есть, $H$ - нормальна.

[mihiv]

Нужно еще доказать , что $H$ минимальная нормальная подгруппа, т.е. если $F$ какая-то нормальная подгруппа группы $G$,то $H \subset F$.

[neo66]

mihiv писал(а):

Нужно еще доказать , что $H$ минимальная нормальная подгруппа, т.е. если $F$ какая-то нормальная подгруппа группы $G$,то $H \subset F$.

А вот это уже неверно. Пример: $G=SO(3)\times \mathbb{Z}_2$.

[mihiv]

mihiv в сообщении #222380 писал(а):

т.е. если $F$ какая-то нормальная подгруппа группы $G$,то $H \subset F$.

neo66, прошу извинить, что нечаянно ввел в заблуждение, приведенный отрывок конечно же, надо читать так:"т.е. если $F$ какая-то нормальная подгруппа конечного индекса группы $G$, то $H \subset F$"

[neo66]

Кажется, так:
Если $H$ и $F$ нормальны, то их пересечение $K$ тоже нормально. Так как, $H$ - просто, то $K$ или тривиальна или совпадает с $H$. Если она тривиальна, то все смежные классы $fH$ - различны. Поэтому $F$ - конечно, и, значит, бесконечного индекса. То есть, $H\subset F$.

[mihiv]

В дополнение к решению neo66 привожу свой вариант решения: пусть $g$ произвольный элемент группы $G$, подгруппа $B=gHg^{-1}$ изоморфна $H$, следовательно проста и, кроме того, имеет конечный индекс в $G$. $D=H \cap B$ имеет конечный индекс в $G$ как пересечение подгрупп конечного индекса, $D$ имеет кончный индекс и в подгруппе $H$ в силу неравенства $|H:D| \leqslant |G:B|$. Но известно, что простые бесконечные группы не содержат подгрупп конечного индекса (кроме самой группы), следовательно $H=D$, т.е. $H$ нормальная подгруппа.

Пусть теперь $F$ какая-то нормальная подгруппа конечного индекса группы $G$, как и выше получим, что $H=F \cap H$, т.е. $H \subset F$.
Из решения задачи понятно, что любая бесконечная группа содержит не более одной простой подгруппы конечного индекса. В связи с этим вопрос: несмотря в общем-то на элементарность этого утверждения, доказано ли оно где-то? Например, знаю, что доказано вот это:"В каждой группе число простых подгрупп конечного индекса конечно", правда ссылки на это доказательство у меня нет,потому и вопрос.