Решение дифференциального уравнения второго порядка

[NatNiM]

Можно ли решить дифференциальное уравнение второго порядка, используя знания операционного исчисления (понятие оригинал-изображение),не имея начальных условий?

[мат-ламер]

Поясните, что значит решить уравнение без начальных условий? Построить фазовый портрет?

-- Вт июн 16, 2009 11:44:16 --

Вероятно, надо, чтобы решение зависело от произвольных констант. В операционном исчисении (преобразовании Лапласа) вообще-то определённые интегралы.

-- Вт июн 16, 2009 11:46:45 --

Думаю, что начальные условия всё-же нужны, но они не обязательно должны задаваться числами.

[shwedka]

Обозначьте начальные значения искомой функции и ее производных буквами и получите решение, зависящее от этих букв.

[MGM]

Это называется общее решение.
Что, для некоторых, такое же решение, как и частное.
Если Вас попросят найти единственное, или конечное число решений,
то, в принципе, нельзя.
Хотя есть уравнение Лапласа, для волны определённой частоты.
Это уже что-то. Не ятно откуда и куда, но ясно с какой частотой.

[NatNiM]

Спасибо. В процессе решения возник вопрос:

$$$ \frac{1} {{\left( {p + 2} \right)^2 }} $$$

как разложить на дроби, что-то упорно не выходит! Сразу если посмотреть, видно, какие дроби должны получится, а записать в общем?

$$$ \frac{1} {{\left( {p + 2} \right)^2 }} = \frac{A} {{p + 2}} + \frac{{Cp + B}} {{\left( {p + 2} \right)^2 }} $$$

не получается.

[мат-ламер]

У Вас, вроде, и так дробь (хотя я может не так понял запись).

[NatNiM]

Ну да, не удачно привела пример того, что мне нужно. Вообще, нужно разложить на дроби вот такое

$$$ \frac{{ - 19p - 28}} {{\left( {p + 2} \right)^2 \left( {p^2 + 2p + 5} \right)}} $$$

[sasha_vertreter]

Если я прав, то
$(p+2)^2$ даст дробь $\frac{A}{(p+2)} + \frac{B}{(p+2)^2}$.
$(p^2+2p+5)$ даст дробь $\frac{Mp+Q}{p^2+2p+5}$.

А дальше сложить и приравнять коэффициенты при степенях p и получить A,B,M,Q.

Только получившееся выражение для свободного члена нужно приравнивать к -28.

[NatNiM]

Спасибо!