Двойные интегралы.( помогите разобраться)

[Neytrall]

$\int_{D}\int{\sqrt\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}}dxdy$ при $D: \left( x^2+y^2\leqslant 1 , x\geqslant 0 , y\geqslant 0)\right$

Я пришел к тому что это равно $\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2} }\sqrt\frac{1-r^2}{1+r^2}rdrd\theta$
при $0\leqslant r\leqslant 1$, $0\leqslant \theta \leqslant\frac{\pi}{2}$

Подскажите, пожалуйста, как дальше решать.

[Полосин]

Во-первых, проинтегрировать по $\theta$, во-вторых, сделать замену $r^2=t$.

[ewert]

Дальше -- молча. Просто внесите "эр" под знак дифференциала. (А уж интеграл по "тета" берётся и вовсе независимо от интеграла по "эр".)

[Neytrall]

$r^2=t$ ВОТ ОНО!!! Спасибо. и что я сразу не сообразил.

-- Вс июн 14, 2009 23:24:28 --

$\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2} }\sqrt\frac{1-t}{1+t}dtd\theta$

У меня не получается посчитать интеграл $\int\sqrt\frac{1-t}{1+t}dt$

-- Вс июн 14, 2009 23:32:28 --

:(

[Gordmit]

$\dfrac{1-t}{1+t}=u^2$, и получается интеграл от рациональной функции.

[Neytrall]

А у меня не получается...я это и пытался сделать(

[Виктор Викторов]

Neytrall в сообщении #222067 писал(а):

У меня не получается посчитать интеграл $\int\sqrt\frac{1-t}{1+t}dt$

Это уже просто. Домножьте числитель и знаменатель на ${(1-t)}$. Избавьтесь от иррациональности в числителе. А затем разбейте на две дроби, загляните для первой в таблицу интегралов, а для второй сработает очень простая подстановка. Кстати, загляните в третий том Антидемидовича стр. 81 по изданию 2001 года.

[vlad239]

Ничего себе просто! Ну ладно, предложу и свой метод тогда. Замените $t=\tg z$.

Влад.

[Виктор Викторов]

vlad239 в сообщении #222125 писал(а):

Ничего себе просто!

Влад!
А в каком классе нынче начинают изучать алгебру? (Это намёк. Долги пора отдавать.)