O большие и o малые

[ellipse]

$f=o(g)$
Есть несколько определений.

1) через неравенство модулей.

$f$ является «о» малым от $g$ при $x\to x_0$, если для любого $\varepsilon>0$ найдется такая проколотая окрестность $U_{x_0}'$ точки $x0$, что для всех $x\in U_{x_0}'$ имеет место неравенство
$ |f(x)| \leqslant \varepsilon |g(x)|$

2) через произведение с бесконечно малой
$f$ является «о» малым от $g$ при $x\to x_0$, если $f=a*g$; $a\to 0$ при $x\to x_0$

Как строго доказать эквивалентность 1) и 2)?

ну то, что 2) => 1) очевидно.

остается доказать 1) => 2)

$f = sign(f*g)|f|/|g|*g$ и $a=sign(f*g)|f|/|g| \to 0$ в силу 1).

Но как быть в случае с $g(x)=0$? Вроде бы все просто, но я не уверен. Я так рассуждал.

Если $g(x)=0$, то $f=0$ в силу 1)

Значит можно взять в качестве $a(x)$ любую функцию, стремящуюся к $0$ при при $x\to x_0$.

$a(x) := $
$sign(f*g)|f|/|g|$ ; если $g(x)\neq 0$
$0$ ; если $g(x)=0$

Ошибок нет?

-- Вс июн 14, 2009 05:26:18 --

Справедливо ли утверждение $t(h) = f(x+h)-f(x) = O(h)$,
если $f$ непрерывна в т $x$?

[KolhiziN]

ellipse в сообщении #221901 писал(а):

$f=o(g)$
Справедливо ли утверждение $t(h) = f(x+h)-f(x) = O(h)$,
если $f$ непрерывна в т $x$?

нет.

[ellipse]

Как доказать, что $O(o(x)) = o(x)$ и $o(O(x)) = o(x)$?

[meduza]

ellipse
Непосредственно из определения. $f(x)=o(g(x))$ при $x \to a$ равносильно $\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$. $f(x)=O(g(x))$ при $x \in X$ значит, что $|f(x)| \leqslant A|g(x)|$, где $A$ - константа, не зависящая от $x$.

Посчитай пределы и убедись, что $O(o(x)) = o(x)$ и $o(O(x)) = o(x)$. А вообще, такие выражения можно воспринимать "интуитивно". $o(x)$ - велечина, имеющая низший порядок роста, чем $x$. $O(x)$ - такой же, как $x$. Например выражение $O(o(x)) = o(x)$ значит, что слева велечина такого же порядка роста, как и справа. $o(O(x)) = o(x)$ --- $o(x)$ имеет такой же порядко роста, как и $o(O(x))$, поскольку $O(x)$ и $x$ одного порядка.