Оптимальная оценка параметра лог-нормального распределения

[Taras]

$X=(\xi_1,...,\xi_n)$ - выборка из лог-нормального распределения с параметрами $(\alpha,\sigma^2)$. Найти оптимальную оценку для $\alpha$.
1. Достаточной статистикой в этом случае явяляется двумерная статистика - $(\Sigma \ln^2 \xi_k ,\prod \xi_k)$.
2. Хочется прменить теорему о том, что каждая измеримая функция от полной, дост. статистики является оптимальной оценкой свого мат.ожидания.
Как доказать полноту этой статистики (в этом случае применение функции$\pi_2(\ln(\cdot) )$ решает задачу )?

[--mS--]

Taras в сообщении #221952 писал(а):

$X=(\xi_1,...,\xi_n)$ - выборка из лог-нормального распределения с параметрами $(\alpha,\sigma^2)$. Найти оптимальную оценку для $\alpha$.
1. Достаточной статистикой в этом случае явяляется двумерная статистика - $(\Sigma \ln^2 \xi_k ,\prod \xi_k)$.

Оптимальность оценки одномерного параметра $\alpha$? А зачем тогда искать достаточную статистику для двумерного параметра? Оптимальность оценок векторного параметра и оптимальность оценок каждого параметра в отдельности - не одно и то же. Зафиксируйте $\sigma$ и рассматривайте полные и достаточные статистики для параметра $\alpha$ при известном $\sigma$. Найдёте оценку, не зависящую от $\sigma$ - построите оптимальную.

Taras в сообщении #221952 писал(а):

2. Хочется прменить теорему о том, что каждая измеримая функция от полной, дост. статистики является оптимальной оценкой свого мат.ожидания.
Как доказать полноту этой статистики (в этом случае применение функции$\pi_2(\ln(\cdot) )$ решает задачу )?

Полноту этой статистики доказывать необходимости нет никакой. А полноту статистики $\sum \ln \xi_k$ (или, что то же самое, $\overline X$, где $X_k = \ln \xi_k \sim \textrm{N}(\alpha, \sigma^2)$) можно посмотреть здесь: 1 Мб, задача 11.2 стр. 60.

[Taras]

Тогда если $\sigma$ известно, то $\prod \xi_k$ (или тоже самое, что $\Sigma \ln \xi_k$)- дост. статистика. Дальше применяем задачу 11.2 и все хорошо.
Спасибо.