Кольцо главных идеалов

[extira]

Есть такая задача:

Пусть в кольце главных идеалов $A$ элементы $u$, $v$ удовлетворяют условиям: а) $(u) \subset (v)$; б) если $\mathfrak{I}$ - идеал кольца $A$ и $(u) \subseteq \mathfrak{I} \subseteq (v)$, то $\mathfrak{I} = (u)$ или $\mathfrak{I} = (v)$. Как связаны между собой элементы $u$ и $v$?

Мои мымысли:

$(u)=\{a_1u + nu | a_1 \in A, n \in \mathbb{Z}\}$
$(v)=\{a_2v + kv | a_2 \in A, k \in \mathbb{Z}\}$
$\mathfrak{I} = (x)=\{a_3x + lx | a_3 \in A, l \in \mathbb{Z}\}$

Если $\mathfrak{I} = (u)$, то $a_3x + lx=a_1u + nu$ т.е. идеалы совпадают.
Если $\mathfrak{I} = (v)$, то $a_3x + lx=a_2v + kv$ т.е. идеалы совпадают.

Если $(u) \subset (v)$ и при условии "б", то идеалы $(u)$ и $(v)$ должны совпадать. Или все таки часть элементов должны совпадать. Это первое что мне не очень понятно.

Знаю, что если идеалы совпадают но порождены разными элементами, то такие элементы ассоциированы, но как это доказать?

Если же идеалы совпадают, тогда $a_1u + nu=a_2v + kv$ следовательно $a_1u=a_2v$ и $nu=kv$.
Соответственно $u=a_1^{-1}a_2v$. Как показать что такой переход корректен и существует элемент $a_1^{-1}$ и что делать с $nu=kv$?

[VAL]

extira в сообщении #221687 писал(а):

Есть такая задача:

Пусть в кольце главных идеалов $A$ элементы $u$, $v$ удовлетворяют условиям: а) $(u) \subset (v)$; б) если $\mathfrak{I}$ - идеал кольца $A$ и $(u) \subseteq \mathfrak{I} \subseteq (v)$, то $\mathfrak{I} = (u)$ или $\mathfrak{I} = (v)$. Как связаны между собой элементы $u$ и $v$?

Мои мымысли:

$(u)=\{a_1u + nu | a_1 \in A, n \in \mathbb{Z}\}$
$(v)=\{a_2v + kv | a_2 \in A, k \in \mathbb{Z}\}$
$\mathfrak{I} = (x)=\{a_3x + lx | a_3 \in A, l \in \mathbb{Z}\}$

Вы как-то слишком сложно представляете устройство главных идеалов. В кольце главных идеалов каждый идеал - просто множество кратных одного элемента.

Цитата:

Если $\mathfrak{I} = (u)$, то $a_3x + lx=a_1u + nu$ т.е. идеалы совпадают.
Если $\mathfrak{I} = (v)$, то $a_3x + lx=a_2v + kv$ т.е. идеалы совпадают.

Если $(u) \subset (v)$ и при условии "б", то идеалы $(u)$ и $(v)$ должны совпадать. Или все таки часть элементов должны совпадать. Это первое что мне не очень понятно.

Знаю, что если идеалы совпадают но порождены разными элементами, то такие элементы ассоциированы, но как это доказать?

Если же идеалы совпадают, тогда $a_1u + nu=a_2v + kv$ следовательно $a_1u=a_2v$ и $nu=kv$.
Соответственно $u=a_1^{-1}a_2v$. Как показать что такой переход корректен и существует элемент $a_1^{-1}$ и что делать с $nu=kv$?

Ведь в условии (по крайней мере, Вашем варианте условия) ясно сказано, что данные главные идеалы находятся в отношении строго включения. Значит, они не могут совпадать и элементы $u$ и $v$ не могут быть ассоциированы: $u = ap$, а обратное неверно. Поэтому множитель $p$ не является обратимым. А вот каким он является, догадайтесь сами.

[Профессор Снэйп]

Судя по тому, что речь идёт просто об идеалах, без указания того, левые они или правые, кольцо коммутативно.

И всё очень-очень просто. Из $(u) \subset (v)$ заключаем, что $u = vp$ для некоторого $p \in A$. Так как это включение собственное (то есть $(u) \neq (v)$, то $v \neq ur$ ни для какого $r \in A$. Значит, элемент $p$ необратим в кольце $A$. Ну а далее из того, что нет идеалов, "промежуточных" между $(u)$ и $(v)$, можно заключить, что если $p=xy$ для некоторых $x,y \in A$, то один из элементов $x$, $y$ обязательно обратим, а второй --- нет. Другими словами, элемент $p$ является простым. Присоединяясь к предложению VAL, призываю Вас доказать это самостоятельно.

P. S. Тут есть ещё такая маленькая тонкость. Нигде не сказано, что $A$ является кольцом с единицей. Скорее всего, это просто подразумевается. Ну а если нет, то... надо быть более осторожными. В частности, получается, что разговор про "обратимые" элементы не совсем корректен. Я, к сожалению, плохо помню всю эту теорию и не знаю, как в таких случаях называются элементы, обладающие свойством $A = (x)$. Может, не "обратимыми", а как-то ещё?..

[VAL]

В самой первой строке условия сказано, что речь идет о кольце главных идеалов. А это по определению - область целостности, т.е. коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля.
Хотя, заглянул сейчас в несколько книжек.., все как в басне "Квартет". У одних авторов кольцо главных идеалов - область целостности, а у других ни коммутативности, ни единицы не предполагается.
Но внутренний голос мне подсказывает, что задачка сформулирована для "хорошего кольца главных идеалов"

[extira]

То есть если я правильно поняла, то получаем следующее:

Из $(u) \subset (v)$ следует, что $u=vp$ но $v \neq ur$ и $p$ необратим в $A$.
Т.к. $(u) \subseteq \mathfrak{I} \subseteq (v)$ и взяв $\mathfrak{I}=(x)$ получаем $(u) \subseteq (x) \subseteq (v)$. Тогда из $(u) \subseteq (x)$ и $\mathfrak{I}=(u)$ получаем $u=xa$ и $ua^{-1}=x$ или из $(x) \subseteq (v)$ и $\mathfrak{I}=(v)$ получаем $x=vb$ и $xb^{-1}=v$.
а) Если $u=xa$, то $x=vp'$ и $u=vp'a$
б) Если $x=vb$, то $u=xp''$ и $u=vp''b$
Получается $p=p'a=p''b$ где $a,b$ обратимы, а $p',p''$ необратимы. Тогда получается что существуют такие элементы $p^*$ - необратимый и $a^*$ - обратимый, что $p^*a^*=p$.

Но осталось непонятным почему $p$ простое, если $u=x$ или $x=v$ тогда понятно, но в противном случае оно будет не простым.
И я ни где не могу найти как называются элементы связанные таким отношением, как у меня получилось.