Black-Scholes

[Gortaur]

1. Интеграл Ито - когда точки в интегральных суммах берутся в начале отрезка,
у Стратановича - в середине. В Оксендале есть место, где он говорит, что интеграл Стратановича также является переделом, когда решают последовательность задач, где вместо траектории слуйчаного процесса стоят гладкие функции, которые ее приближают.
Неудивительно, что в итоге получается результат как в классическом интеграле.

[H14sk]

Ну и какова причина выбора именно такого, как у Ито, варианта разбиения? Почему такой выбор адекватен?
Видно же, что если брать разные концы отрезков разбиения, то дисперсию нужно либо добавлять, либо вычитать.
Броуновский процесс это параметризация совокупности с.в. с некоторыми свойствами - однородность, из которой получаем дисперсию, нулевое матожидание. Практически всюду разрывная как бы функция. Броуновский процесс это и не фунуция t, и нельзя сказать, что совсем уж независимые величины, есть зависимость через дисперсию - это и используется в формуле Ито.

[bubu gaga]

H14sk в сообщении #221783 писал(а):

Ну и какова причина выбора именно такого, как у Ито, варианта разбиения?

Выбор модели --- это не математическая задача, и диктуется именно вопросами предметной области, в данном случае экономики.

Тот же Ёкседаль страница 35, шестого английского издания: A comparison of Itô and Stratonovich integrals.

[H14sk]

Нарисовал картинку - адекватно?

bubu gaga писал(а):

Выбор модели --- это не математическая задача, и диктуется именно вопросами предметной области, в данном случае экономики.

Одно дело выбор модели, другое - варианта разбиения, не так?

bubu gaga писал(а):

Тот же Ёкседаль страница 35, шестого английского издания: A comparison of Itô and Stratonovich integrals.

В русском переводе это стр.55 и там дальше писано, что интегралы в смысле Стратоновича не я вляются мартингалами, а Ито, соответственно, - являются. Мдяяя...

[bubu gaga]

Примите $f(W, t)$ за количество акций к моменту $t$ и $\mathrm{d}W$ за изменение цены акции. Какова интерпретация Ито-интеграла $\int f(W,t) \, \mathrm{d}W$ в этом случае? А Стратановича?

[Gortaur]

По-моему, траектории броуновского движения как раз имеют непрерывные варианты почти наверное, то есть можно выбрать очень близкую непрерывную к данной. Но конечно они будут почти наверное нигде не дифференцируемы. Про всюду разрывную - Вы имеете ввиду скорее всего "белый шум" или $dW$.

Что же до интегралов Ито и Стратановича - еще куда более ужасные фразы у Вилмота. А именно "возьмем $dX = O(\sqrt{dt})$. На самом деле, только данный подход даст интересные результаты, и никакой другой". А затем они переходят к разложению в ряд Тейлора и естественно, $dX^2 = dt$, поэтому необходимо будет учесть и вторую проивзодную по случайному члену. Однако это уже вопрос не модели, а подгона

[H14sk]

bubu gaga писал(а):

Примите $f(W, t)$ за количество акций к моменту $t$ и $\mathrf{d}$ за изменение цены акции. Какова интерпретация Ито-интеграла $\int f(W,t) \, \mathrf{d}W$ в этом случае? А Стратоновича?

Ну, вроде та же интерпретация, что так цена актива, что так, разница максимум в дисперсию… Не так?
Приведем пока саму лемму. Если $dx = a(x,t)dt + b(x,t)dz$, то $\forall f \in {C^2}$ следует:

$$df = {f_t}dt + {f_x}dx + \frac{{{b^2}}} {2}{f_{xx}}dt$$

$$df = ({f_t} + a{f_x} + \frac{{{b^2}}}{2}{f_{xx}})dt + b{f_x}dz$$

Или для целей расчета стоимости опциона: $dS = \mu Sdt + \sigma Sdz$

$$\[df = ({f_t} + \mu S{f_S} + \frac{{{\sigma^2}}} {2}{S^2}{f_{SS}})dt + \sigma S{f_S}dz\] $$

Как только принята лемма Ито, дальше вывод дифференциального уравнения Блека-Шоулза идет простой комбинацией при минимуме упрощений.
S – спот-цена акции
f - цена опциона колл
Первое уравнение домножаем на $\[{f_S}\]$, второе – на -1, и складываем, объявляя приращением $\[\Delta \Pi = {f_S}\Delta S - \Delta f\]$ портфеля $\[\Pi = {f_S}S - f\]$

$$\[\Delta \Pi = ( - {f_t} - \frac{{{\sigma ^2}}} {2}{S^2}{f_{SS}})\Delta t = r\Pi \Delta t\]$$

$$\[({f_t} + \frac{{{\sigma ^2}}} {2}{S^2}{f_{SS}})\Delta t = r(f - S{f_S})\Delta t\] $$

Собственно, само дифференциальное уравнение Блека-Шоулза:

$$\[{f_t} + rS{f_S} + \frac{{{\sigma ^2}}} {2}{S^2}{f_{SS}} = rf\]$$

Само уравнение БШ, с точностью до замены переменных, суть уравнение диффузии. А вот насколько корректно упрощение $\[\Delta \Pi = {f_S}\Delta S - \Delta f\]$? В то время как должно быть: $\[\Delta \Pi = \Delta ({f_S}S) - \Delta f\]$ что, впрочем, например, Халл оговаривает (стр.411 перевода).

[Gortaur]

Думаю, здесь дело в том, что мы управляем портфелем, и в момент времени регулируем содержание актива с помощью фиксированного коэффициента $\Delta = \frac{\partial{f}}{\partial{S}}(t_i)$ - если брать дискретное разбиение $\{t_i\}$.

Я имею ввиду, что мы сначала рассматриваем дискретный случай, очевидно, управление не зависит от времени, а затем переходим к непрерывному. То, что Вы написали ($\Delta \Pi = \Delta(f_S S) - \Delta f$), насколько я понимаю, имеет отношение к неуправляемому портфелю.

Кстати, у вас есть электронный перевод Халла?

[finanzmaster]

H14sk в сообщении #221783 писал(а):

Ну и какова причина выбора именно такого, как у Ито, варианта разбиения? Почему такой выбор адекватен?

Потому что Ито-интеграл - мартингал, а Стратоновича - нет.
Мартингальность важна потому, что как показали Krebs and Co, существует замечательная закономерность:
если на рынке есть хотя бы одна эквивалентная мартингальная мера, то он arbitrage free, если она еще единственна - то рынок полный (любой ограниченный contingent claim можно захеджировать портфелем из бондов и акций).

[Gortaur]

finanzmaster
Откуда такие данные и откуда такие термины?
И вообще, здесь кто-нибудь верит, что арбитража так таки нет?

[finanzmaster]

Gortaur в сообщении #223346 писал(а):

finanzmaster
Откуда такие данные и откуда такие термины?

Про связь мартингальных мер и no-arbitrage, от Плиски (с картинками).
Про мартингальность Ито и немартингальность Стратоновича, по-моему, есть у Оксендаля, во время моей учебы мы мартингальность Ито-интеграла доказывали в качестве упражнения.

Gortaur в сообщении #223346 писал(а):

И вообще, здесь кто-нибудь верит, что арбитража так таки нет?

А от того, что "здесь кто-нибудь верит", что-то зависит?..
В учебниках, когда вводят no-arbitrage assumption, говорят, что если арбитраж и бывает, то редко и быстро исчерпывается, поэтому его как бы нет.
С другой стороны, есть один такой легендарный товарищ Эд Торп, упомянутый еще Стренгом как друг, придумавший выигрышную стратегию в Black Jack (уже арбитраж, причем в чистом виде, пусть и не на финансовом рынке). Тот же Торп в свое время успешно осуществлял так называемый статистический арбитраж - то есть формально no arbitrage assumption не было нарушено, но фактически грёб он деньгу лопатой практически не рискуя.
Однако ж и этому пришел конец, не только Торп оказался таким умным, ну а раз так, то этот ресурс в конце концов исчерпался.

Иное дело - полнота рынка. Вот её-то, очевидно, нету. Ну где у нас, скажем, опционы с любым страйком на любую дату?! Где no transaction costs?! Но все равно люди стараются, хеджируют как могут, пусть и не идеально, но для запросов практики хватает - по крайней мере, крупным институциональным игрокам.

[H14sk]

Gortaur писал(а):

Кстати, у вас есть электронный перевод Халла?

Вроде есть ссылка на русский перевод на первой странице топика: "Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты". В другом виде полностью перевода у меня нет.

Gortaur писал(а):

Думаю, здесь дело в том, что мы управляем портфелем, и в момент времени регулируем содержание актива с помощью фиксированного коэффициента $\Delta = \frac{\partial{f}}{\partial{S}}(t_i)$ - если брать дискретное разбиение $\{t_i\}$.

Не очень осмысливаю, что значит "управляем портфелем", понятно, что примерно так пишут в книжках, но математически вроде как значит, что полный дифференциал $d\frac{\partial{f}}{\partial{S}}=0$. Откуда значит, что условие: полный дифференциал есть ноль или производная форвардного курса по спот цене мало изменяется, значит - "управляем портфелем"? Управление портфелем позволяет держать $\frac{\partial{f}}{\partial{S}}$ примерно постоянным? Какое управление позволяет влиять на $\frac{\partial{f}}{\partial{S}}$?
А, кстати, как относиться к соотношению: $\[\Delta \Pi = r\Pi \Delta t\]$ или $\[d\Pi = r\Pi dt\]$? Иначе, по построению $\[\Pi = {f_S}S - f\] = C{e^{rt}}\]$, что вроде как легко решается, другое дело, что f здесь иной, чем в уравнении БШ, с учетом, в некотором смысле, $d\frac{\partial{f}}{\partial{S}} = 0$.

[bubu gaga]

Управление портфелем --- это выбор относительной доли отдельных активов в портфеле в зависимости от времени и других переменных, чьё значение известно к моменту выбора.

[H14sk]

bubu gaga писал(а):

Управление портфелем --- это выбор относительной доли отдельных активов в портфеле в зависимости от времени и других переменных, чьё значение известно к моменту выбора.

Понятно, что структура, но напишите связь с $\frac{\partial{f}}{\partial{S}}$?
Другой вариант вывода уравнения БШ – вывод Мертона (где "выбор относительной доли отдельных активов в портфеле" не требуется).
Рассмотрим процесс Ито: $d{S_t} = \mu ({S_t},t){S_t}dt + \sigma ({S_t},t){S_t}dz$
По лемме Ито для любой достаточно хорошей V: $dV({S_t},t) = XV({S_t},t)dt + YV({S_t},t)dz$, где $X = \frac{1} {V}(\frac{{\partial V}} {{\partial t}} + \mu S\frac{{\partial V}} {{\partial S}} + \frac{{{\sigma ^2}}} {2}{S^2}\frac{{{\partial ^2}V}} {{\partial {t^2}}})$, $Y = \frac{1} {V}\sigma S\frac{{\partial V}} {{\partial S}}$
Итак, возьмем портфель, состоящий из акций, опционов и облигаций. Через Wi обозначим стоимость i-ой части портфеля. Предположим, что портфель в сумме не меняет стоимости, т.е. П=W1+W2+W3=0 (условие безрисковости портфеля).
W1=Q1S, W2=Q2V, W3=Q3M, где Q–количество i-го актива, S-курс акции, V-стоимость опциона, M-стоимость приобретения облигации.
Перепишем: $\[\Pi = \frac{{{w_1}}} {S}S + \frac{{{w_2}}} {V}V + \frac{{{w_3}}} {M}M\]$. Возьмем дифференциал: $\[d\Pi = {w_1}\frac{{dS}} {S} + {w_2}\frac{{dV}} {V} + {w_3}\frac{{dM}} {M}\]$ или $\[d\Pi = {w_1}\frac{{dS}} {S} + {w_2}\frac{{dV}} {V} + {w_3}rdt\]$, поскольку dM=rMdt , а структура портфеля задана постоянной, т.е. Qi - константы.
С учетом леммы Ито получаем: $\[d\Pi = {w_1}(\mu dt + \sigma dz) + {w_2}(Xdt + Ydz) - ({w_1} + {w_2})rdt\]$ $= ({w_1}(\mu - r) + {w_2}(X - r)dt + ({w_1}\sigma + {w_2}Y)dz = 0$.
Отсюда, нужно решить систему: $\[\left\{ \begin{gathered} ({w_1}(\mu - r) + {w_2}(X - r) = 0 \hfill \\ {w_1}\sigma + {w_2}Y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]$, получаем: $\[(\mu - r)Y = \sigma (X - r)\]$. В итоге, подставив X и Y , вроде как более корректный вывод уравнения БШ: $\[\frac{{\partial V}} {{\partial t}} + rS\frac{{\partial V}} {{\partial S}} + \frac{{{\sigma ^2}}} {2}{S^2}\frac{{{\partial ^2}V}} {{\partial {t^2}}} = rV \]$.
Хорошая публикация в тему: "Itô’s Calculus and the Derivation of the Black-Scholes Option-Pricing Model" ( http://www.sba.luc.edu/research/wpapers/ ). По-русски: А.С.Шведов "Лекции. О математических методах, используемых при работе с опционами" ( http://www.ecsocman.edu.ru/economics/msg/148161.html )

[Gortaur]

Понимаете, речь не только о формуле Блека-Шолза, но и о дельта-хеджинге, то есть при выводе уравнения они показали, как свести рыночный риск к минимуму.