Пусть имеются:
Числа

,

,

.
Класс непрерывных взаимнооднозначных из
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
в
![$[a',b']$ $[a',b']$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/e/28ea60a583e2b4a7dd08e4052f00e64b82.png)
функций:
![$\Omega=C([a,b]\leftrightarrow[a',b'])$ $\Omega=C([a,b]\leftrightarrow[a',b'])$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/f/94fe127da24c658965f8bcea42f430e682.png)
, совпадающий, очевидно,
с классом взаимнооднозначных
и строго монотонных из
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
в
![$[a',b']$ $[a',b']$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/e/28ea60a583e2b4a7dd08e4052f00e64b82.png)
функций:
![$\{\psi|\psi\in([a,b]\leftrightarrow[a',b']),\forall x,x',x''\in[a,b]$ $\{\psi|\psi\in([a,b]\leftrightarrow[a',b']),\forall x,x',x''\in[a,b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/6/6d6111143b3663e3ffd70ac2ab9b735082.png)

.
Среднее по Колмогорову есть:
=\varphi^{[-1]}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi(x_i)\right)$ $S[\varphi](x_i|_{i=1}^{n})=\varphi^{[-1]}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi(x_i)\right)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/c/94c576807e5d77f7e65a82e4c12b358b82.png)
для

и
![$x_i\in[a,b]|_{i=1}^{n}$ $x_i\in[a,b]|_{i=1}^{n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/2/b62c664047239fd205f4d4cb63e2c44f82.png)
.
Если для

имеет место
![$S[\varphi_1]\equiv S[\varphi_2]$ $S[\varphi_1]\equiv S[\varphi_2]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/b/b2b06b8d4806f8e9aa8c121cadfe5e5982.png)
, что можно сказать про эквивалентные функции

и

?
Если

и

, то
![$\varphi_2^{[-1]}(y)=\varphi_1^{[-1]}(\frac{y-\beta}{\alpha})$ $\varphi_2^{[-1]}(y)=\varphi_1^{[-1]}(\frac{y-\beta}{\alpha})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/8/1487bf388a291a5ffc40680b0e7edc5c82.png)
и тогда
=\varphi_2^{[-1]}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi_2(x_i)\right)=$ $S[\varphi_2](x_i|_{i=1}^{n})=\varphi_2^{[-1]}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi_2(x_i)\right)=$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/d/d1d201d8b18594ebaed5974678ed9f2b82.png)
![$=\varphi_1^{[-1]}\left(\frac{1}{\alpha}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi_2(x_i)-\beta\right)\right)=\varphi_1^{[-1]}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\varphi_2(x_i)-\beta}{\alpha}\right)$ $=\varphi_1^{[-1]}\left(\frac{1}{\alpha}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi_2(x_i)-\beta\right)\right)=\varphi_1^{[-1]}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\varphi_2(x_i)-\beta}{\alpha}\right)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/4/87471d0be1f5c14546e8373bd59656f782.png)
![$=\varphi_1^{[-1]}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi_1(x_i)\right)=S[\varphi_1](x_i|_{i=1}^{n})$ $=\varphi_1^{[-1]}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi_1(x_i)\right)=S[\varphi_1](x_i|_{i=1}^{n})$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/c/75c0f5ca71a687f3a097eb9bf398d3b182.png)
Исчерпывается ли функции, эквивалентные

видом

?
Каким должно быть поведение

и

, для последовательности

,

эквивалентных (
![$S[\varphi_{1,n}]\equiv S[\varphi_{2,n}]$ $S[\varphi_{1,n}]\equiv S[\varphi_{2,n}]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/7/eb74d596be922935196c14b4f601be2982.png)
) функций, чтобы существующие функциональные пределы

,

также были эквивалентными функциями, то есть чтобы:
![$S[\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_{1,n}]\equiv S[\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_{2,n}]$ $S[\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_{1,n}]\equiv S[\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_{2,n}]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/a/fda2c0d99ba5f339dbfd64ff3b0925a482.png)
?
maxal писал(а):
Вот и получается, что с точки зрения средних:


.
Если вместо

мы возьмем эквивалентную ей функцию

, где

и

, то действительно получим

.