Что такое число?

[ewert]

BVR в сообщении #220933 писал(а):

А вычет - это число?

Безусловно. Это число как соответствующий класс эквивалентности.

[BVR]

Ну вот. Какой широкий диапозон того, что можно назвать числом. В книжке Любецкого "Основы школьной математики" (за точность названия не ручаюсь). введено такое понятие измерения величины. есть множество объектов $U$ и ещё одно множество результатов измерений $T$. Отображение $f:U\to T$назовём измерением. Два объекта $a, b$ из $U$ назовём равновеликими относительно $f$, если $f(a)=f(b)$. Дальше, кажется так: класс эквивалентности множества $U$ по отношению равновеликости относительно $f$ назовём величиной объекта $a$ при измерении $f$.
Так может элементы тех множеств, что могут выступить в роли элементов $T $ и назвать числами. $T$ можно снабдить ещё какой-нибудь алгеброй...
Может я что-то упустил... А то получается. что в роли результатов измерений может выступать любое множество. Если интересно, могу завтра уточнить.

[AD]

BVR в сообщении #221230 писал(а):

Так может элементы тех множеств, что могут выступить в роли элементов $T $ и назвать числами.

А на $T$ я вообще в этой конструкции ограничений не вижу.
Так что Пифагор был прав

[BVR]

AD в сообщении #221302 писал(а):

BVR в сообщении #221230 писал(а):

Так может элементы тех множеств, что могут выступить в роли элементов $T $ и назвать числами.

А на $T$ я вообще в этой конструкции ограничений не вижу.
Так что Пифагор был прав

Ну и я не вижу. Но может его какой-нить алгеброй сделать

[Nxx]

ewert в сообщении #220605 писал(а):

Стимулы разные. Каждый из переходов, вплоть до $\mathbb C,$ был обусловлен потребностью решать те или иные уравнения. А вот $\mathbb R$ -- никакими не уравнениями, а необходимостью полноты.

Необходимость полноты - это тоже необходимость решать уравнения с пределами.

[ewert]

Nxx в сообщении #221588 писал(а):

Необходимость полноты - это тоже необходимость решать уравнения с пределами.

А что это такое -- "уравнения с пределами"?...

[Nxx]

ewert в сообщении #221593 писал(а):

Nxx в сообщении #221588 писал(а):

Необходимость полноты - это тоже необходимость решать уравнения с пределами.

А что это такое -- "уравнения с пределами"?...

$$\frac{x^2}{6}=\lim_{N\to\infty }\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2}$$

или

$$x=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

Это по-вашему, не уравнения?

[ewert]

Второе-то уж точно не уравнение. А первое -- если и уравнение, то вовсе не на пределы.

[Nxx]

ewert в сообщении #221610 писал(а):

Второе-то уж точно не уравнение. А первое -- если и уравнение, то вовсе не на пределы.

Вы можете его решить в алгебраических числах?

[ewert]

Nxx в сообщении #221616 писал(а):

Вы можете его решить в алгебраических числах?

У Вас логическая путаница. Здесь трансцедентное число появляется ещё до того, как вводится хоть какое-то уравнение.

[Nxx]

ewert в сообщении #221619 писал(а):

Nxx в сообщении #221616 писал(а):

Вы можете его решить в алгебраических числах?

У Вас логическая путаница. Здесь трансцедентное число появляется ещё до того, как вводится хоть какое-то уравнение.

Чего?

-- Пт июн 12, 2009 18:48:31 --

Ну хорошо, если вас те уавнения не устраивают, то вот вам другой пример:

$$x =\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$$

Можете решить это уравнение в алгебраических числах?

[ewert]

Nxx в сообщении #221625 писал(а):

Ну хорошо, если вас те уавнения не устраивают, то вот вам другой пример:

$$x =\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$$

Можете решить это уравнение в алгебраических числах?

И снова -- нарушение логической последовательности. До введения вещественных чисел это уравнение не имеет математического смысла. А как можно пытаться решать то, чего нет?...

[Nxx]

ewert в сообщении #221631 писал(а):

Nxx в сообщении #221625 писал(а):

Ну хорошо, если вас те уавнения не устраивают, то вот вам другой пример:

$$x =\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$$

Можете решить это уравнение в алгебраических числах?

И снова -- нарушение логической последовательности. До введения вещественных чисел это уравнение не имеет математического смысла. А как можно пытаться решать то, чего нет?...

Почему же? Вполне имеет. Но не имеет решений.

[ewert]

Nxx в сообщении #221632 писал(а):

Почему же? Вполне имеет.

Да? А что такое сумма ряда -- до того как вещественные числа уже введены? Нет никакой суммы.

[Nxx]

ewert в сообщении #221634 писал(а):

Nxx в сообщении #221632 писал(а):

Почему же? Вполне имеет.

Да? А что такое сумма ряда -- до того как вещественные числа уже введены? Нет никакой суммы.

Есть понятие предела предела последовательности. Это понятие не требует введения вещественных чисел. Более того, сами вещественные числа через это понятие вводятся. Сумма бесконечного ряда - это предел последовательности конечных сумм.