Оценить экспоненту

[трапезун]

Помогите решить такую задачу.

Есть отрезок $[a,b]$, на котором заданы функция вида $\frac{e^{\lambda x}-1}{\lambda}$. Необходимо оценить каждую производную этой функции равномерно на $[a,b]$, и избавившись от $\lambda\in[0,1]$. То есть, например оценить так
$\left|\left(\frac{e^{\lambda x}-1}{\lambda}\right)^{(\alpha)}\right|\leq\sup_{x\in[a,b]}|g(x,\alpha)|$.
Хотелось бы, чтоб $g$ имела достаточно простой вид.

Заранее огромное спасибо!

[vlad239]

Я, наверное, тупой. Но ведь производная-то явно берется, у Вас же не дробь, а умножение на константу $\frac{1}{\lambda}$. После взятия производных выползет степень лямбды (она не больше единицы) и останется оценить экспоненту, что тривиально.

Влад.

[трапезун]

Для $\alpha\geq 1$ получается так: $\left|\left(\frac{e^{\lambda x}-1}{\lambda}\right)^{(\alpha)}\right|\leq\sup_{x\in[a,b]}e^x=e^b$.

А нулевая производная?

[Xaositect]

deleted

[трапезун]

В том-то и беда, что от нуля отступать нельзя. Так как потом лямбда устремится к нулю.

[vlad239]

Воспользуйтесь вторым замечательным пределом. Все проблемы могут быть только при малых $\lambda$, но для них и числитель мал.

Влад.

[трапезун]

Итак, для $\alpha=0$ получаем
$\left|\left(\frac{e^{\lambda x}-1}{\lambda}\right)^{(\alpha)}\right|\leq\sup_{x\in[a,b]}|x|$

[vlad239]

Все-таки нет. Числитель при каждом конкретном $\lambda$ - возрастающая функция и дробь принимает максимальное значение в конце отрезка. Теперь исследуем $\frac{e^{bx}-1}{x}$ на отрезке $[0,1]$.

Найдем максимум по всем значениям $x$ (оно раньше было лямбдой). И это даст оценку.

Влад.

[трапезун]

Производная: $\frac{bxe^{bx}-e^{bx}+1}{x^2}$.

Приравняв к нулю, имеем $e^{bx}=\frac{1}{1-bx}$. И что дальше делать - непонятно.

[RIP]

Можно просто заметить, что

$$\left|\frac{e^{\lambda x}-1}\lambda\right|=\biggl|\int_0^xe^{\lambda t}dt\biggr|\le|x|e^{|\lambda x|}.$$

[трапезун]

Спасибо! А модуль в паказателе экспоненты зачем?

[RIP]

трапезун в сообщении #221029 писал(а):

А модуль в показателе экспоненты зачем?

Чтобы неравенство было верно при любых значениях переменных (даже комплексных).

[трапезун]

Теперь хочется оценить квадрат. Учитывая неравенство Коши-Буняковского, правильно ли следующее соображение:
$ $\left|\left(\frac{e^{\lambda x}-1}\lambda\right)^2\right|= \biggl| \left( \int_0^xe^{\lambda t}dt\right)^2\biggr|\le \biggl| \int_0^xe^{2\lambda t}dt\biggr|\biggl| \int_0^xdt\biggr|= |x|^2e^{|2\lambda x|}?$$

[AD]

Неравенство Коши-Буняковского тут ни при чем. Просто если $0<a<b$, то $a^2<b^2$.