производные дробных порядков

[Nxx]

Нет, конечно. Идиотское обобщение.

А вообще, обобщить ничего не стоит, достаточно определить возведение числа в матричную степень.

[arseniiv]

Если предположить, что возможно возвести число в степень матрицы, тогда результатом такой операции будет явно не действительное число, т. к. $ \exists X,Y \; (a^X)^Y = a^{XY} \ne (a^Y )^X = a^{YX} $, а ещё матрицы разных порядков не умножаются...

[AD]

Nxx в сообщении #220001 писал(а):

Нет, конечно.

Ну и ладно. Я и не обещал.

arseniiv в сообщении #220020 писал(а):

а ещё матрицы разных порядков не умножаются

Ну ничего, мы для начала ограничимся квадратными матрицами, и определим

$$e^A=\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{k!}$$

что вполне общепринято, хотя и вправду, как заметил arseniiv, не число (кстати, если кватернионы считать числами, то рассуждение arseniiv не проходит).

Только что дальше - не понятно. Может, это надо для функций многих переменных просто проделывать? Или даже, наверное, для вектор-функций одной переменной?

(Кстати, мнимую производную от комплекснозначных функций таким образом мы уже запросто определили. ).

[arseniiv]

Надо тогда объявить логарифм матрицы... А про экспоненту что-то забыл. А после логарифма получим степень по известной формуле... Нельзя ли объявить логарифм как обратную операцию к экспоненте? (Там ведь тоже матрица выходит), или он будет многозначным?

-- Сб июн 06, 2009 14:44:37 --

А нельзя разве вынести множитель $ A^k $ из суммы, кстати? И тогда там вроде дзета-функция получится? Ой, что я говорю. $ k $ же переменная внутри суммы

-- Сб июн 06, 2009 16:08:08 --

А нельзя ли подобным образом, через ряды, определить синус-косинус матрицы?

[Nxx]

Цитата:

А нельзя ли подобным образом, через ряды, определить синус-косинус матрицы?

Можно, конечно. С этим никогда проблем не было. Только не факт, что в результате получится число. Скорее всего, новая матрица.

-- Сб июн 06, 2009 14:20:21 --

arseniiv в сообщении #220020 писал(а):

Если предположить, что возможно возвести число в степень матрицы, тогда результатом такой операции будет явно не действительное число, т. к. $ \exists X,Y \; (a^X)^Y = a^{XY} \ne (a^Y )^X = a^{YX} $, а ещё матрицы разных порядков не умножаются...

Ну значит, производная матричнозначного порядка будет матричнозначной, в чем проблема?

Никто же не ожидает, что производная мнимого порядка дожна быть действительнозначной.

[AD]

Операции над матрицами через ряды - совершенно стандартная вещь, и много где применяется. Хотя бы вспомните правило решения линейных однородных дифуров с постоянными коэффициентами:

$$\qquad \vec{y\,}'=A\vec{y}\Leftrightarrow \vec{y}=\vec{c}e^{At}$$

-- Сб июн 06, 2009 14:29:47 --

В принципе, в функциональном анализе иногда считают непрерывные функции от операторов [в бесконечномерных гильбертовых пространствах], а от самосопряженных - даже борелевские, говорят, можно.

И вообще, это всё к операторам отношения не имеет, нужна лишь структура какой-нибудь топологической алгебры (каковой алгебра операторов обычно является).

[nikov]

AD в сообщении #219981 писал(а):

Цитата:

А вот интересно, можно ли придумать обобщение, чтобы вместо $n$ стоял кватернион или матрица?

Можно. Например, для матриц так:

$$f^{(A)}=\begin{cases}f^{(\lambda)}&\text{при }A=\lambda\mathbf{1}\\ 0&\text{иначе}\end{cases}$$

Устраивает?

Скучное какое-то обобщение...

[AD]

Ну тогда надо было спрашивать что-то типа "можно ли придумать увлекательное обобщение?"

[arseniiv]

А давайте придумаем некоммутативную операцию и к ней увлекательные обобщения?

Не придумывается что-то...

[Nxx]

Например, тетрация. Слабо обобщить на нецелые высоты?


Я пару способов обобщения знаю, но они действуют не для любой базы и вообще туго вычисляются.

[iig]

Все рациональные числа размножаются делением целых.
-------------
Когда-то интересовался подобными обобщениями - я бы назвал это "континуизм" - кроме производных - факториал и прочее.
В реальности находят применение только Гамма-функция и дробные тензоры типа спина.

[arseniiv]

Можно сделать какое-нибудь вырожденное возведение в матричную степень, результатом будет число того же типа, что и основание степени - возводить в степень определителя матрицы

[kvanttt]

AD в сообщении #220024 писал(а):

Ну ничего, мы для начала ограничимся квадратными матрицами, и определим

$$e^A=\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{k!}$$

что вполне общепринято, хотя и вправду, как заметил arseniiv, не число (кстати, если кватернионы считать числами, то рассуждение arseniiv не проходит).
Только что дальше - не понятно. Может, это надо для функций многих переменных просто проделывать? Или даже, наверное, для вектор-функций одной переменной?

Недавно спрограммировал таким образом возведение е в матричную степень и логарифм от матрицы. Потом вычислил корень из матрицы, перемножил эту матрицу саму с собой и в результате получилась исходная матрица. Довольно забавные вещи так можно сотворять

-- Чт июн 18, 2009 20:58:07 --

Nxx в сообщении #220478 писал(а):

Например, тетрация. Слабо обобщить на нецелые высоты?

Я пару способов обобщения знаю, но они действуют не для любой базы и вообще туго вычисляются.

Это типо если X^^2 = 27, то X = 27^^0.5 = 3. (где Х^^N - тетрация). А что для других вещественных чисел, которые не имеют вид 1/N вообще не понятно. Можете сказать, что это за способы и где про них можно узнать?

Можно еще ввести совсем уж накрученную вещь - тетрацию "треугольной" степени (про треугольные числа можно узнать здесь http://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольное_число) .

[Nxx]

Цитата:

Это типо если X^^2 = 27, то X = 27^^0.5 = 3. (где Х^^N - тетрация).

Нет, это не работает. Обратный показатель высоты в тетрации не соответствует обратной операции.

Цитата:

А что для других вещественных чисел, которые не имеют вид 1/N вообще не понятно. Можете сказать, что это за способы и где про них можно узнать?

Этот материал сейчас готовится к публикации в научном журнале. Способов много, но они действуют, как правило, не для любой базы, а только для какого-то интервала. Вот тут http://en.wikipedia.org/wiki/User:MathF ... on_Summary можно увидеть пару формул, а также, метод, опубликованный Дмитрием Кузнецовым для основания e (хотя его метод применим для базы > $e^{1/e}$ ). Метод Кузнецова вот тут: http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/analuxp99.pdf но хрен разберешься. Тем не менее, его программа для Mathemetica работает очень быстро.

[arseniiv]

kvanttt в сообщении #223126 писал(а):

Недавно спрограммировал таким образом возведение е в матричную степень и логарифм от матрицы. Потом вычислил корень из матрицы, перемножил эту матрицу саму с собой и в результате получилась исходная матрица. Довольно забавные вещи так можно сотворять

О, а как вычисляли логарифм? Вроде "хорошего" ряда для него нет, чтобы применять к матрицам? А экспоненту с определённой точностью вычисляли, да?