Помогите взять интеграл обратного синуса

[rar]

Давно как-то брал. Но уже забыл

$$\int \frac{dx}{\sin{x}}$$

[ShMaxG]

Домножьте на синус числитель и знаменатель, занесите синус в числителе под дифференциал и будет Вам счастье.

[rar]

Вот, что получается:

$$\int \frac{dx}{\sin{x}}=\frac{1}{2}\ln{\ctg^2{\frac{x}{2}}}+C=\ln{\left|\ctg{\frac{x}{2}}\right|}+C$$

Правильно?

[ShMaxG]

Не, там под логарифмом тангенс на самом деле.

[CowboyHugges]

$$\int \frac{dx}{\sin x}=\int \frac{d \frac{x}{2}}{\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}=\int \frac{d(\tg{\frac{x}{2}})}{\tg{\frac{x}{2}}}=\ln{|\tg{\frac{x}{2}}|}+C$$

[rar]

Понял ошибку:

$$\int\frac{dx}{\sin{x}}=\int\frac{\sin{x}}{\sin^2{x}}dx=-\int\frac{d(\cos{x})}{\sin^2{x}}=-\int\frac{d(\cos{x})}{1-\cos^2{x}}=-\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1+\cos{x}}{1-\cos{x}}\right|}+C=\ln{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}+C=\ln{\left|\tg{\frac{x}{2}}\right|}+C$$

Скажите, а знак модуля там обязателен?

[Виктор Викторов]

Попробуйте подставить -$\frac{\pi}{4}$ вместо $x$ с модулем и без модуля.

[ShMaxG]

CowboyHugges
Красиво.

А модуль там обязательно нужен, область определения логарифма никто не отменял.

[AKM]

rar в сообщении #221041 писал(а):

Скажите, а знак модуля там обязателен?

rar,
я упрощу Ваш вопрос: есть известная формула $\int\dfrac{dx}x=\ln|x|+C$ (во всех справочниках).
Скажите, а знак модуля здесь обязателен?

[CowboyHugges]

ShMaxG в сообщении #221068 писал(а):

CowboyHugges
Красиво.

Фихтенгольц. Я просто в своё время запомнил, почему-то

[Виктор Викторов]

Формула известна. Но желательно, чтобы rar её понял.

[rar]

Ага, понял.