О конструктивизме теорем существования и лемме Цорна

[terminator-II]

рассмотрим модельную задачу.
пусть $X$ -- несепарабельное банахово пространство и отображение
$F:X\to X$ имеет слабую производную во всех точках $X$. Предположим, что $\|F'(x)\|\le c<1$ при всех $x\in X$. (Через $\|\cdot\|$ обозначена операторная норма). будем считать константу $c$ известной.
по формуле конечных приращений, отображение $F$ является сжатием и уравнение $F(x)=x$ имеет решение.
это решение можно получить конструктивно: методом последовательных приближений, скорость сходимрости последовательных приближений, тоже конструктивно оценивается через константу $c$.
формула конечных приращений основана на теореме Хана-Банаха, а та в свою очередь на лемме Цорна.
Этот пример показывает, что лемм Цорна может лежать в основе вполне конструктивного доказательства

[ewert]

Ну-у, теорема Хана-Банаха очень много где используется (к сожалению).

Конкретно здесь она используется для доказательства вовсе не существования решения (это уже внешний бантик), а для доказательства сжимаемости в предположении всего лишь существования производной, да и ещё всего лишь слабой. Ну так это утверждение и остаётся сомнительным -- ровно настолько же, как и сама аксиома выбора.

Другое дело, что оно имеет некоторую эвристическую ценность: раз уж утверждение доказалось с использованием этой аксиомы -- значит, искать контрпримеры бесполезно. Но это означает только то, что в отсутствие аксиомы выбора следование сжимаемости только из этих слабых ограничений, по-видимому, так и останется подвешенным. Ну и пусть себе. В конце-то концов, в приложениях на производную обычно накладываются гораздо более сильные требования.

[terminator-II]

я знал, что Вас это зацепит

[ewert]

а я и клюнул, охотно зная, что это явно подначка

[hurtsy]

ewert в сообщении #221051 писал(а):

а я и клюнул, охотно зная, что это явно подначка

Хочу быть третьим.

ewert в сообщении #220869 писал(а):

Ну так это утверждение и остаётся сомнительным -- ровно настолько же, как и сама аксиома выбора.

Разве для того, чтоб связать конструктивизм с сомнением в аксиоме выбора, в модели уважаемого terminator-II необходимо несепарабельное банахово пространство Хорошо бы упростить, как требует Оккама . С уважением,