Несобственный интеграл экспоненциальной функции

[Sjutka]

CowboyHugges в сообщении #220826 писал(а):

А почему не так?

$$ \lambda_2y + \lambda_3 y^2= -(\sqrt{-\lambda_3}y-\frac{\lambda_2}{2\sqrt{-\lambda_3}})^2-\frac{\lambda_2^2}{4\lambda_3}$$

Тогда

$$\int_0^{\infty} e^{-(\sqrt{-\lambda_3}y-\frac{\lambda_2}{2\sqrt{-\lambda_3}})^2-\frac{\lambda_2^2}{4\lambda_3}}dy=\frac{\sqrt{-\lambda_3\pi}}{2}e^{-{\frac{\lambda_2^2}{4\lambda_3}}} $$

...только учусь, спасибо за оказаную помощь. Есть над чем задуматся и на что обратить внимание!!!

[ewert]

Sjutka в сообщении #220714 писал(а):

Хотелось бы уточнить, применительно к даному примеру

$$\int_{0}^{\infty} \exp(\lambda_2y+\lambda_3y^2) dy,$$

мне нужно привести его к указаному выше табличному интегралу?

Не приведёте, ответ не элементарен, он будет содержать функцию ошибок.

[Sjutka]

ewert в сообщении #220841 писал(а):

Sjutka в сообщении #220714 писал(а):

Хотелось бы уточнить, применительно к даному примеру

$$\int_{0}^{\infty} \exp(\lambda_2y+\lambda_3y^2) dy,$$

мне нужно привести его к указаному выше табличному интегралу?

Не приведёте, ответ не элементарен, он будет содержать функцию ошибок.

...т.е. есть уже подобные решения?

[ewert]

vlad239 в сообщении #220802 писал(а):

Выделите полный квадрат под экспонентой и сделайте замену.

И реализация:

CowboyHugges в сообщении #220826 писал(а):

А почему не так?

Только ответ неверен -- автор зазевался с нижним пределом интегрирования.

[Sjutka]

в интернете нашел вот такое решение

$$\int_{0}^{\infty} \exp(\lambda_2y+\lambda_3y^2)dy=\sqrt\frac{\pi}{-\lambda_3}\exp\left(-\frac{\lambda_2^2}{4\lambda_3}\right),$$

но как оно получилось не совсем понятно.

[ewert]

Решение заведомо неверно. В ответе должна присутствовать функция $\mathop{\mathrm{erf}}(x)$ или какая-нибудь аналогичная.

[Sjutka]

ewert в сообщении #220860 писал(а):

Решение заведомо неверно. В ответе должна присутствовать функция $\mathop{\mathrm{erf}}(x)$ или какая-нибудь аналогичная.

Вы можете посоветовать на что следует обратить внимание при решении интегралов подобного типа?

[ewert]

На стандартные определённые интегралы и стандартные спецфункции.

Если уж так уж нужен ответ. Пусть интеграл ошибок определён как $\everymath{\displaystyle}\mathop{\mathrm{erf}}(x)={2\over\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt$ (так, чтобы было $\mathop{\mathrm{erf}}(+\infty)=1;$ возможны и другие варианты определения). Тогда

$$\int_0^{+\infty}e^{-ay^2+by}dy=\int_0^{+\infty}e^{-a(y-{b\over2a})^2+{b^2\over4a}}dy=\Bigg[t=\sqrt{a}\cdot\left(y-{b\over2a}\right)\Bigg]={1\over\sqrt a}\,e^{b^2\over4a}\int_{-b/2\sqrt a}^{+\infty}e^{-t^2}dt=$$

$$=\sqrt{\pi\over4a}\,e^{b^2\over4a}\cdot\mathop{\mathrm{erf}}(x)\Big|_{x=-b/2\sqrt{a}}^{+\infty}=\sqrt{\pi\over4a}\,e^{b^2\over4a}\left(1+\mathrm{erf}}\left({b\over2\sqrt a}\right)\right).$$

А то, что Вы "нашли в интернете" -- было бы верно, если б интеграл брался по всей оси.

[Sjutka]

спасибо за полный и конструктивный ответ!!!