Несобственный интеграл экспоненциальной функции

[Sjutka]

Здравствуйте!!!
Помогите разобратся в табличном интеграле:

$$\int_{0}^{\infty} \exp\left(-a^2x^2-\frac{b^2}{x^2}\right) dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2a}\exp(-2ab).$$

В частности интересует, исходя из каких соображений в конечном выражении получаем $\sqrt{\pi}.$ В качестве примера привожу следующей выражение:

$$\int_{0}^{\infty} \exp(\lambda_2y+\lambda_3y^2) dy.$$

Спасибо.

Слегка поправил запись формул. Для первого сообщения выполнено вполне роскошно. /AKM
[\exp, \left(, \right) --- для больших скобок].

[arseniiv]

А что с этим примером делать-то? И, вы не могли бы лучше преобразовать $ exp(x) $ в $ e^x $ или хотя бы в $ \exp x $

[Sjutka]

arseniiv в сообщении #220694 писал(а):

А что с этим примером делать-то? И, вы не могли бы лучше преобразовать $ exp(x) $ в $ e^x $ или хотя бы в $ \exp x $

Спасибо за замечание, в дальнейшем учту.
По поводу примера. Как я понимаю его нужно привести к указаному табличному интегралу, при этом мне не совсем понятно откуда после его интегрирования и подставновки в конечном выражении появляется $\sqrt{\pi}.$

[CowboyHugges]

Sjutka в сообщении #220698 писал(а):

при этом мне не совсем понятно откуда после его интегрирования и подставновки в конечном выражении появляется $\sqrt{\pi}.$

Ну видимо из интеграла Пуассона, или Вам его вывод нужен?

[Sjutka]

CowboyHugges в сообщении #220700 писал(а):

Sjutka в сообщении #220698 писал(а):

при этом мне не совсем понятно откуда после его интегрирования и подставновки в конечном выражении появляется $\sqrt{\pi}.$

Ну видимо из интеграла Пуасона, или Вам его вывод нужен?

Если можно, то да - не могу оперировать не понятными для меня вещами...

[CowboyHugges]

Sjutka, если у Вас есть полный Фихтенгольц, то там есть, в частности в восьмом издании, том 2. гл. XIII. $\S$4. Ну или по названию "Особые приемы вычисления несобственных интегралов"

[Sjutka]

CowboyHugges в сообщении #220703 писал(а):

Sjutka, если у Вас есть полный Фихтенгольц, то там есть, в частности в восьмом издании, том 2. гл. XIII. $\S$4. Ну или по названию "Особые приемы вычисления несобственных интегралов"

Посмотрю, спасибо за опреративную помощь!

[KolhiziN]

$$I(b) = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-a^2x^2 - \frac {b^2}{x^2}}dx$$ $$a, b > \epsilon, I'(b) = \int\limits_{0}^{\infty}\frac{-2b}{x^2}e^{-a^2x^2 - \frac {b^2}{x^2}}dx = \{ t = \frac {1} {x}; dt = -\frac{dx}{x^2} \} = -2b\int\limits_{0}^{\infty} e^{-b^2x^2 - \frac {a^2}{x^2}}dx$$ $$t = \frac{b}{a}x, I'(b) = -\frac{2}{a}I(b), I(b) = Ce^{-2ab}$$ Все действия допустимы. Интеграл сх-ся равномерно при любом $$b > \epsilon$$ Из непрерывности находим $$C = I(0) = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-a^2x^2}dx = \frac {\sqrt{\pi} }{2a}}$$ $$I(a,b) = \frac {\sqrt{\pi}} {2a}}e^{-2ab}$$

[Sjutka]

Спасибо!!!!!
Хотелось бы уточнить, применительно к даному примеру

$$\int_{0}^{\infty} \exp(\lambda_2y+\lambda_3y^2) dy,$$

мне нужно привести его к указаному выше табличному интегралу?

[CowboyHugges]

А какие $\lambda$ в условии, он же при $\lambda_1 , \lambda_2>0$ расходится вроде ?

[vlad239]

Sjutka в сообщении #220714 писал(а):

мне нужно привести его к указаному выше табличному интегралу?

Ну да. Выделите полный квадрат под экспонентой и сделайте замену.

Влад.

[Sjutka]

CowboyHugges в сообщении #220795 писал(а):

А какие $\lambda$ в условии, он же при $\lambda_1 , \lambda_2>0$ расходится вроде ?

$\lambda$ - множители Лагранжа, значение которых мне нужно найти при решении вариационной задачи...

vlad239 в сообщении #220802 писал(а):

Sjutka в сообщении #220714 писал(а):

мне нужно привести его к указаному выше табличному интегралу?

Ну да. Выделите полный квадрат под экспонентой и сделайте замену.

Влад.

пытался, но полученый результат у меня вызывает сомнения

[Gordmit]

Sjutka в сообщении #220807 писал(а):

пытался, но полученый результат у меня вызывает сомнения

А какой получился результат?

[Sjutka]

Gordmit в сообщении #220808 писал(а):

Sjutka в сообщении #220807 писал(а):

пытался, но полученый результат у меня вызывает сомнения

А какой получился результат?

$$\int_{0}^{\infty} \exp-\left[-(\sqrt{\lambda_2y})^2-\left(\frac{\sqrt{\lambda_3}}{y^{-1}}\right)^2\right]dy=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\lambda_2}}\exp\left(-2\sqrt{\lambda_2\lambda_3\right).$$

-- Пн июн 08, 2009 23:22:23 --

CowboyHugges в сообщении #220703 писал(а):

Sjutka, если у Вас есть полный Фихтенгольц, то там есть, в частности в восьмом издании, том 2. гл. XIII. $\S$4. Ну или по названию "Особые приемы вычисления несобственных интегралов"

...в продолжении темы, просьба к учасникам форума, не могли бы Вы соориентировань в плане литературы по теме "интеграл Эйлера-Пуассона". Может кто-то занимался его исследованием?

[CowboyHugges]

А почему не так?

$$ \lambda_2y + \lambda_3 y^2= -(\sqrt{-\lambda_3}y-\frac{\lambda_2}{2\sqrt{-\lambda_3}})^2-\frac{\lambda_2^2}{4\lambda_3}$$

Тогда

$$\int_0^{\infty} e^{-(\sqrt{-\lambda_3}y-\frac{\lambda_2}{2\sqrt{-\lambda_3}})^2-\frac{\lambda_2^2}{4\lambda_3}}dy=\frac{\sqrt{-\lambda_3\pi}}{2}e^{-{\frac{\lambda_2^2}{4\lambda_3}}} $$