задачи по элементарной Теории вероятностей...

[Ulyana]

Добрый день!
Есть 6 задач для контрольной работы по ТВ - 3 из них я решила и хочу сверить свой ответ с вашим если не затруднит....

1. В ящике 4 изделия 1го сорта, 4 изделия 2го сорта и 2 изделия 3го сорта. Для контроля из ящика наудачу берут 6 изделий без возвращения. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее двух 1-го сорта и ровно три второго сорта. Мой ответ: 4/21.

2. 400 станков работают независимо друг от друга, причем вероятность бесперебойной работы каждого из них в течение смены равна 0,6. Найти вероятность того, что в течение смены бесперебойно проработают: а) 260 станков; б) от 230 до 250 станков.Мой ответ: а) 0,00498; б) 0,6922.

3. Завод отправил на базу 1000 доброкачественных изделий. Вероятность появления изделия при транспортировке равна 0,0003. Найти вероятность повреждения при транспортировке: а) одного изделия; б) от 2 до 3 изделий. Мой ответ: а) 0,222245; б) 0,036671.

[Dan_Te]

Мои ответы:
1. 32/105
2. 0,00506984 (на калькуляторе), 0,672813 (в Экселе, но по таблицам должно похожее получаться)
3. Такие же.

[Ulyana]

Dan_Te писал(а):

Мои ответы:
1. 32/105
2. 0,00506984 (на калькуляторе), 0,672813 (в Экселе, но по таблицам должно похожее получаться)
3. Такие же.

Ага, спасиб.
Но в первой задаче я вычисляла по такой формуле:
$ P(A) = \frac {C_4^3(C_4^2+C_4^3)} {C_{10}^6}$

Получается что ровно 3 изделия 2-го сорта это $C_4^3$, а не менее двух 1-го сорта это $C_4^2+C_4^3$

разве не верно?

[Dan_Te]

Нет, неверно. Выбрать ровно 2 изделия 1 сорта и 3 изделия можно $C_4^2 \cdot C_4^3 \cdot C_2^1$ способами, потому что нужно еще выбрать одно изделие 3 сорта из двух.

[Ulyana]

А зачем мне выбирать одно изделие третьего сорта, если оно мне вообще не нужно по условию?

[Dan_Te]

Нужно, потому что вы его уже посчитали в знаменателе, где вы учитывали выбор из всех десяти изделий.

Можно просто выписать вероятностное пространство и исходы (кстати, всегда полезно это делать). В данном случае имеем множество $M=\{1_1...1_4,2_1...2_4,3_1,3_2\}$, и пространство $\Omega$ 6-элементных подмножеств из М. Мы знаем, что $\Omega$ состоит из $C_{10}^6$ исходов, и схема выбора шаров предписывает нам считать все исходы равновероятными.

Нас интересует вероятность множества A, состоящего из таких исходов, что ...(по тексту). Разбиваем его на два подмножества,
$A_1=\{ \mbox{три изделия первого типа и три второго}\}$,
$A_2=\{\mbox{два изделия первого типа, три второго и одно третьего}\}$
Мы не можем не говорить про третий тип в описании А_2, потому что иначе мы не определим исход.
Теперь надо подсчитать количество исходов в множествах А_1 и А_2. Легко убедиться, что в множестве А_2 будет именно 32 исхода, а не 16, просто выписав их все.

[Dan_Te]

Ulyana писал(а):

А зачем мне выбирать одно изделие третьего сорта, если оно мне вообще не нужно по условию?

Наверное, вот такое объяснение будет более простым:
сначала вы выбираете два изделия первого сорта, потом три второго. Если к этим пяти добавить 3_1, то будет один набор, если добавить 3_2, то будет другой. Вам надо учитывать оба набора, вы не можете считать их одинаковыми, потому что вы считали их разными в знаменателе.

В принципе, можно задать вероятностное пространство так, чтобы третий тип можно было не учитывать. Но в таком пространстве, скорее всего, исходы не будут равновероятными.

[Ulyana]

Dan_Te, благодарю за подробное объяснение, вы абсолютно правы...
Я не задумывалась все разложить по полочкам - а так намного все проще и понятнее

[Ulyana]

Вот еще задачка:

К причалу для разгрузки между $T_1$ и $T_2$ часами независимо друг от друга в случайный момент времени подходят два танкера. Первый разгружается за $t_1$ч., второй -за $t_2$ч. Найти вероятность того, что ни одному из танкеров не прийдется ждать освобождения причала другим.

[Dan_Te]

Вроде это на геометрическую вероятность. Если я правильно понял, то нас интересует только разность Т=Т2-Т1.
Пусть первый танкер причалил в момент х, а второй в момент у. Нарисуем квадрат со стороной Т и поставим на нем точку с координатами (х,у). Например, если точка над диагональю, то первый танкер причалил раньше, $y>x$. А если дополнительно $y>x+t_1$, то оба танкера смогли разгрузиться.
По условию задачи точка (х,у) распределена внутри квадрата равномерно. Поэтому просто рисуем область, когда оба танкера разгружаются, и считаем отношение площадей.

Когда решите, можно будет сверить ответы =)))

[PAV]

Ulyana писал(а):

Добрый день!
Есть 6 задач для контрольной работы по ТВ - 3 из них я решила и хочу сверить свой ответ с вашим если не затруднит....

Ulyana, если не секрет, где Вы учитесь? Просто инетерсно, где дают такие задачи на контрольных по теорверу.

[Ulyana]

Dan_Te писал(а):

Вроде это на геометрическую вероятность. Если я правильно понял, то нас интересует только разность Т=Т2-Т1.
Пусть первый танкер причалил в момент х, а второй в момент у. Нарисуем квадрат со стороной Т и поставим на нем точку с координатами (х,у). Например, если точка над диагональю, то первый танкер причалил раньше, $y>x$. А если дополнительно $y>x+t_1$, то оба танкера смогли разгрузиться.
По условию задачи точка (х,у) распределена внутри квадрата равномерно. Поэтому просто рисуем область, когда оба танкера разгружаются, и считаем отношение площадей.

Когда решите, можно будет сверить ответы =)))

Вот что у меня получилось:
$P=\frac {\frac {(T-t_1)^2}{2}+\frac {(T-t_2)^2}{2}}{T^2}$

сумма площадей двух треугольничков на площадь квадрата....

[Ulyana]

Цитата:

Ulyana, если не секрет, где Вы учитесь? Просто инетерсно, где дают такие задачи на контрольных по теорверу.

А что вас удивило? Их легкость?
... я учусь на заочном отделениии факультета математики... и если вам они кажутся легкими, то для меня нет - учитывая что у нас было всего 12 пар по ТВ из них всего 1 пара практики
Так что все самой приходится осваивать...

[Dan_Te]

Да, правильно.

[PAV]

Ulyana писал(а):

Цитата:

Ulyana, если не секрет, где Вы учитесь? Просто инетерсно, где дают такие задачи на контрольных по теорверу.

А что вас удивило? Их легкость?
... я учусь на заочном отделениии факультета математики... и если вам они кажутся легкими, то для меня нет - учитывая что у нас было всего 12 пар по ТВ из них всего 1 пара практики
Так что все самой приходится осваивать...

Честное слово, совершенно не хотел обидеть. Задачи нормальные. Просто было интересно. За последнее время на этом форуме и mmonline регулярно стали спрашивать решения учебных задач по теорверу, раньше я такого не замечал.