Установить сходимость/расходимость ряда

[rar]

Установить сходимость/расходимость ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{5^n}$$

По первому признаку сравнения рядов имеем:

$$\frac{n!}{5^n}\leqslant\frac{1}{2^n}$$

Из сходимости ряда

$$\frac{1}{2^n}$$

(он сходится как убывающая геометрическая прогрессия) следует сходимость исходного ряда. Но в ответе написано, что ряд расходится. В чем ошибка?

[Gordmit]

Очевидно, в этом неравенстве:

$$\frac{n!}{5^n}\leqslant\frac{1}{2^n}$$

[rar]

Оно, вроде, правильное.

-- Пн июн 08, 2009 06:51:42 --

Или обязательно должно соблюдаться условие: меньше или равно (хотя бы для одного члена)?
По признаку Даламбера предел равен плюс бесконечности. Отсюда следует расходимость ряда?

[Gordmit]

rar в сообщении #220541 писал(а):

Оно, вроде, правильное.

Нет, неравенство перестает выполняться при $n\geqslant 4$.

rar в сообщении #220541 писал(а):

Или обязательно должно соблюдаться условие: меньше или равно (хотя бы для одного члена)?

Не понял вопрос...

rar в сообщении #220541 писал(а):

По признаку Даламбера предел равен плюс бесконечности. Отсюда следует расходимость ряда?

Если предел из формулировки признака Даламбера равен бесконечности, то конечно, да. Но в данном случае все даже проще: докажите, что не выполняется необходимое условие сходимости, а именно общий член ряда не стремится к 0.

[rar]

Gordmit в сообщении #220543 писал(а):

rar в сообщении #220541 писал(а):

Но в данном случае все даже проще: докажите, что не выполняется необходимое условие сходимости, а именно общий член ряда не стремится к 0.

Вот как это доказать... Не пойму.

[Gordmit]

Например, так: достаточно показать, что

$$\frac{n!}{5^n}\geqslant\frac{5!}{5^5}>0$$

при всех натуральных $n$. (Последовательность, ограниченная снизу некоторой положительной константой, не может стремиться к 0.)

[citadeldimon]

Gordmit в сообщении #220543 писал(а):

Если предел из формулировки признака Даламбера равен бесконечности, то конечно, да. Но в данном случае все даже проще: докажите, что не выполняется необходимое условие сходимости, а именно общий член ряда не стремится к 0.

Тут же можно любым признаком воспользоваться, но не забыть формулу Стирлинга

[AD]

Факториал растет быстрее степени. Чтобы это понять, достаточно заметить, что при переходе от $n-1$ к $n$ имеем $\frac{a^n}{a^{n-1}}=a$, но $\frac{n!}{(n-1)!}=n$. То есть при $n>a$ факториал начинает расти быстрее, и рано или поздно любую степень перегоняет.

[ewert]

+5 коп.:

очевидно, что, начиная с пятёрки, общий член монотонно возрастает.