Невыходит решить задачу по нахождению площади поверхности

[nbyte]

Здравствуйте.
Подскажите пожалуйста, что я делаю нетак.
Пробую решить следующий пример

Найти площадь части поверхности конуса $\[{z^2} = 2xy\]$ при помощи двухкратного интеграла, расположенный в первом октанте между плоскостями $x=2$ и $y=4$

Вот так выглядит начало решения в задачнике
$S = \int\!\!\!\int\limits_\sigma {ds = \int\!\!\!\int\limits_{\sigma xy} {\sqrt {1 + {{({z^'}_x)}^2} + {{({z^'}_y)}^2}}}} dxdy = {1 \over {\sqrt 2 }}\int\!\!\!\int\limits_{\sigma xy} {\left( {\sqrt {{x \over y}} + \sqrt {{y \over x}} } \right)dxdy} } } $

Пробую получить тоже самое, решаю так
$z= \sqrt{2xy}$

${z^'}_x = \sqrt {2y} *{1 \over 2}*{1 \over {\sqrt x }} = {{\sqrt {2y} } \over {2\sqrt x }}$
${({z^'}_x)^2} = {{2y} \over {4x}} = {y \over {2x}}$

${z^'}_y = \sqrt {2x} *{1 \over 2}*{1 \over {\sqrt y }} = {{\sqrt {2x} } \over {2\sqrt y }}$
${({z^'}_y)^2} = {{2x} \over {4y}} = {x \over {2y}}$

А дальше если подставляю в формулу ${\sqrt {1 + {{({z^'}_x)}^2} + {{({z^'}_y)}^2}} dxdy}$ полученные ${({z^'}_x)^2}$ и ${({z^'}_y)^2}$, то у меня получается нето что я хочу увидеть, тоесть не как в примере.

[ewert]

nbyte в сообщении #220443 писал(а):

то у меня получается нето что я хочу увидеть, тоесть не как в примере.

Напрасно. При аккуратной подстановке получится ровно то же, что и вверху -- полный квадрат под корнем.

[nbyte]

ну например тогда, если сложить
${y \over {2x}}$ и ${x \over {2y}}$
то выходит $1$ и $1 + 1$ .... ну и тут я полностью непонимаю

-- Вс июн 07, 2009 20:51:51 --

${({z^'}_x)^2}$ и ${({z^'}_y)^2}$ я вродебы правильно по идее нашел.....

[EtCetera]

$1+\frac{y}{2x}+\frac{x}{2y}=\left(\sqrt{\frac{x}{2y}}\right)^2+2\sqrt{\frac{x}{2y}}\sqrt{\frac{y}{2x}}+\left(\sqrt{\frac{y}{2x}}\right)^2=\left(\sqrt{\frac{x}{2y}}+\sqrt{\frac{y}{2x}\right})^2$

[nbyte]

Ааа так. Понятно теперь вродебы всё. EtCetera, Спасибо.