Двойной интеграл

[RusheN]

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться и решить вот такую задачу:

Измените порядок интегрирования. Нарисуйте область интегрирования:$\int_{0}^{7}dx\int_{-7}^{\sqrt(49-7x)}f(x,y)dy$

[CowboyHugges]

Ну таки и нарисуйте, в чём проблема нарисовать 3 прямые и одну параболу

[nn910]

RusheN в сообщении #220009 писал(а):

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться и решить вот такую задачу:

Измените порядок интегрирования. Нарисуйте область интегрирования:$\int_{0}^{7}dx\int_{-7}^{\sqrt(49-7x)}f(x,y)dy$

Начинающему предложил бы такую запись условия$\int_{0}^{7}(\int_{-7}^{\sqrt(49-7x)}f(x,y)dy\))dx\$Разбирайтесь, успехов

[RusheN]

Большое спасибо за помощь, с областью интегрирования я разобрался, нарисовал, единственно не понятно, как изменить порядок интегрирования. Переписав его в виде $\int_{0}^{7}(\int_{-7}^{\sqrt(49-7x)}f(x,y)dy\))dx$ мы добьемся изменения порядка интегрирования? Или нужно еще что-то сделать?
Еще нужно решить задачу: Найти с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями : $x=\sqrt(2y), x^2+y^2=8, x=0, z=0, z=30y/11$
Cамо тело получающиеся при пересечении поверхностей я нарисовал, но вот как составить интеграл не знаю.

[Gordmit]

Интеграл составить очень просто: если обозначить тело буквой $\Omega$, то объем будет равен

$$V(\Omega)=\iiint\limits_\Omega dx\,dy\,dz.$$

Осталось перейти к повторным интегралам и сосчитать.

[RusheN]

Gordmit, это я знаю. Собственно к этим повторным интегралам я не знаю как переходить. К примеру на практике мы разбирали как взять интеграл $V(\Omega)=\iiint\limits_\Omega (dx\,dy\,dz)/(x+y+z+1)^3$, где $\Omega : x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$. Тут подынтегральное выражение известно и дальше известно что делать, а вот в задаче нет.

[Gordmit]

В данном случае подынтегральное выражение - это просто тождественная единица: $f(x,y,z)\equiv 1$.

-- Сб июн 06, 2009 17:13:36 --

RusheN в сообщении #220075 писал(а):

Большое спасибо за помощь, с областью интегрирования я разобрался, нарисовал, единственно не понятно, как изменить порядок интегрирования. Переписав его в виде $\int_{0}^{7}(\int_{-7}^{\sqrt(49-7x)}f(x,y)dy\))dx$ мы добьемся изменения порядка интегрирования?

Конечно, нет, это просто вариант записи повторного интеграла: внутренний интеграл берется по $y$, а внешний по $x$. Чтобы изменить порядок интегрирования, нужно записать интеграл так, чтобы внутренний интеграл был по $x$, а внешний по $y$: $\displaystyle\int\limits_{...}^{...}dy\int\limits_{...}^{...} f(x,y)\,dx$, или, что то же самое, $\displaystyle\int\limits_{...}^{...}\biggl(\int\limits_{...}^{...} f(x,y)\,dx\biggr)\,dy$.
После того, как нарисовали область, для того чтобы изменить порядок интегрирования, нужно выяснить в каких пределах меняется $y$ в данной области (это будут пределы внешнего интеграла по $y$), а затем при каждом фиксированном $y$ определить пределы интегрирования по $x$ (внутреннего).

-- Сб июн 06, 2009 17:17:10 --

Кстати, если в выражении под корнем стоит некоторое выражение, то при наборе заключать его нужно не в круглые скобки, а в фигурные:

$\sqrt{49-7x}$, $x=\sqrt{2y}$

$\sqrt{49-7x}$, $x=\sqrt{2y}$

[RusheN]

Что ж у меня получилось $\displaystyle\int\limits_{-7}^{7}dy\int\limits_{0}^{{-y^2/7}+7} f(x,y)\,dx$. Вроде бы правильно Большое спасибо Вам, Gordmit, за подробные объяснения.

Теперь вернемся к задаче про объем тела. Я тут нашел пример решения подобной задачи. И сделав по образцу, у меня получилось, что $V=\int_{0}^{2\sqrt3}dy\int_{0}^{\sqrt{2y}-\sqrt{8-y^2}}dx\int_{0}^{30y/11}dz$

[Gordmit]

RusheN в сообщении #220097 писал(а):

Что ж у меня получилось $\displaystyle\int\limits_{-7}^{7}dy\int\limits_{0}^{{-y^2/7}+7} f(x,y)\,dx$. Вроде бы правильно Большое спасибо Вам, Gordmit, за подробные объяснения.

Кажется, не совсем верно. При $0\leqslant y\leqslant 7$ пределы интегрирования по $x$ будут действительно $0$ и ${-y^2/7}+7$. Однако при отрицательных $y$ ($-7\leqslant y\leqslant 0$) верхний предел у внутреннего интеграла по $x$ должен быть другой (его там не парабола ограничивает, а прямая). Посмотрите внимательно на рисунок.

RusheN в сообщении #220097 писал(а):

Теперь вернемся к задаче про объем тела. Я тут нашел пример решения подобной задачи. И сделав по образцу, у меня получилось, что $V=\int_{0}^{2\sqrt3}dy\int_{0}^{\sqrt{2y}-\sqrt{8-y^2}}dx\int_{0}^{30y/11}dz$

Что-то на правду не похоже: пределы интегрирования по $x$ и по $y$ странные. Из каких, например, соображений получилось, что $y$ меняется в пределах от $0$ до $2\sqrt3$?
Кстати, в данном случае удобнее самое внешнее интегрирование вести не по $y$, а по $x$, тогда не нужно будет разбивать промежуток интегрирования на две части...

[RusheN]

$\displaystyle\int\limits_{-7}^{0}dy\int\limits_{0}^{7} f(x,y)\,dx+\int\limits_{0}^{7}dy\int\limits_{0}^{{-y^2/7}+7} f(x,y)\,dx$ учитывая вышесказанное должно быть так. Правильно?

Цитата:

Из каких, например, соображений получилось, что $y$ меняется в пределах от $0$ до $2\sqrt3$?

Это по графику видно, $x^2+y^2=8$ пересекает ось $0y$ в точке $2\sqrt3$, а $x=\sqrt{2y}$ в точке 0$.
По иксу верхний предел я определил из соображения, что графики функций $x=\sqrt{2y}$ и $x^2+y^2=8$ пересекаются в точке $x=\sqrt{2y}-\sqrt{8-y^2}$.
Ну а $z$ даны нам в условии.
А какими будут пределы если внешнее интегрирование вести по иксу?

[Gordmit]

RusheN в сообщении #220156 писал(а):

$\displaystyle\int\limits_{-7}^{0}dy\int\limits_{0}^{7} f(x,y)\,dx+\int\limits_{0}^{7}dy\int\limits_{0}^{{-y^2/7}+7} f(x,y)\,dx$ учитывая вышесказанное должно быть так. Правильно?

Да, правильно.

RusheN в сообщении #220156 писал(а):

Это по графику видно, $x^2+y^2=8$ пересекает ось $0y$ в точке $2\sqrt3$, а $x=\sqrt{2y}$ в точке 0$.

Опечатка, вероятно: $\sqrt8=2\sqrt2$, а не $2\sqrt3$

RusheN в сообщении #220156 писал(а):

По иксу верхний предел я определил из соображения, что графики функций $x=\sqrt{2y}$ и $x^2+y^2=8$ пересекаются в точке $x=\sqrt{2y}-\sqrt{8-y^2}$.
Ну а $z$ даны нам в условии.

$x=\sqrt{2y}-\sqrt{8-y^2}$ - это что за точка?
Чтобы найти точку пересечения данных параболы и окружности, нужно $x=\sqrt{2y}$ подставить в $x^2+y^2=8$ и решить уравнение относительно $y$ - это будет ордината $y_0$ точки пересечения. Соответственно, находится абсцисса $x_0$.
Далее, $x$ во внутреннем интеграле будет меняться от 0 до: 1) параболы, если $0<y<y_0$, 2) окружности, если $y_0<y<2\sqrt2$.
Опять же, смотрите рисунок, который получается в плоскости $xOy$. Это же относится и к вопросу:

RusheN в сообщении #220156 писал(а):

А какими будут пределы если внешнее интегрирование вести по иксу?