2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение06.06.2009, 10:04 


20/07/07
834
Нет, конечно. Идиотское обобщение.

А вообще, обобщить ничего не стоит, достаточно определить возведение числа в матричную степень.

 Профиль  
                  
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение06.06.2009, 11:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Если предположить, что возможно возвести число в степень матрицы, тогда результатом такой операции будет явно не действительное число, т. к. $ \exists X,Y \; (a^X)^Y = a^{XY} \ne (a^Y )^X = a^{YX} $, а ещё матрицы разных порядков не умножаются... :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение06.06.2009, 11:36 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Nxx в сообщении #220001 писал(а):
Нет, конечно.
Ну и ладно. Я и не обещал. :P
arseniiv в сообщении #220020 писал(а):
а ещё матрицы разных порядков не умножаются
Ну ничего, мы для начала ограничимся квадратными матрицами, и определим $$e^A=\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{k!}$$
что вполне общепринято, хотя и вправду, как заметил arseniiv, не число (кстати, если кватернионы считать числами, то рассуждение arseniiv не проходит).

Только что дальше - не понятно. Может, это надо для функций многих переменных просто проделывать? Или даже, наверное, для вектор-функций одной переменной?

(Кстати, мнимую производную от комплекснозначных функций таким образом мы уже запросто определили. ).

 Профиль  
                  
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение06.06.2009, 11:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Надо тогда объявить логарифм матрицы... :) А про экспоненту что-то забыл. А после логарифма получим степень по известной формуле... Нельзя ли объявить логарифм как обратную операцию к экспоненте? (Там ведь тоже матрица выходит), или он будет многозначным?

-- Сб июн 06, 2009 14:44:37 --

А нельзя разве вынести множитель $ A^k $ из суммы, кстати? И тогда там вроде дзета-функция получится? :? Ой, что я говорю. $ k $ же переменная внутри суммы

-- Сб июн 06, 2009 16:08:08 --

А нельзя ли подобным образом, через ряды, определить синус-косинус матрицы? :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение06.06.2009, 13:12 


20/07/07
834
Цитата:
А нельзя ли подобным образом, через ряды, определить синус-косинус матрицы?


Можно, конечно. С этим никогда проблем не было. Только не факт, что в результате получится число. Скорее всего, новая матрица.

-- Сб июн 06, 2009 14:20:21 --

arseniiv в сообщении #220020 писал(а):
Если предположить, что возможно возвести число в степень матрицы, тогда результатом такой операции будет явно не действительное число, т. к. $ \exists X,Y \; (a^X)^Y = a^{XY} \ne (a^Y )^X = a^{YX} $, а ещё матрицы разных порядков не умножаются... :wink:


Ну значит, производная матричнозначного порядка будет матричнозначной, в чем проблема?

Никто же не ожидает, что производная мнимого порядка дожна быть действительнозначной.

 Профиль  
                  
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение06.06.2009, 13:22 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Операции над матрицами через ряды - совершенно стандартная вещь, и много где применяется. Хотя бы вспомните правило решения линейных однородных дифуров с постоянными коэффициентами:
$$\qquad \vec{y\,}'=A\vec{y}\Leftrightarrow \vec{y}=\vec{c}e^{At}$$

-- Сб июн 06, 2009 14:29:47 --

В принципе, в функциональном анализе иногда считают непрерывные функции от операторов [в бесконечномерных гильбертовых пространствах], а от самосопряженных - даже борелевские, говорят, можно.

И вообще, это всё к операторам отношения не имеет, нужна лишь структура какой-нибудь топологической алгебры (каковой алгебра операторов обычно является).

 Профиль  
                  
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение07.06.2009, 00:54 


11/10/08
171
Redmond WA, USA
AD в сообщении #219981 писал(а):
Цитата:
А вот интересно, можно ли придумать обобщение, чтобы вместо $n$ стоял кватернион или матрица?
Можно. Например, для матриц так: $$f^{(A)}=\begin{cases}f^{(\lambda)}&\text{при }A=\lambda\mathbf{1}\\
0&\text{иначе}\end{cases}$$
Устраивает? :roll:


Скучное какое-то обобщение... :)

 Профиль  
                  
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение07.06.2009, 15:22 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Ну тогда надо было спрашивать что-то типа "можно ли придумать увлекательное обобщение?" :idea:

 Профиль  
                  
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение07.06.2009, 17:40 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А давайте придумаем некоммутативную операцию и к ней увлекательные обобщения? :D

Не придумывается что-то...

 Профиль  
                  
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение07.06.2009, 21:24 


20/07/07
834
Например, тетрация. Слабо обобщить на нецелые высоты?


Я пару способов обобщения знаю, но они действуют не для любой базы и вообще туго вычисляются.

 Профиль  
                  
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение10.06.2009, 00:32 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/05/09

288
Gomel BY
Все рациональные числа размножаются делением целых.
-------------
Когда-то интересовался подобными обобщениями - я бы назвал это "континуизм" - кроме производных - факториал и прочее.
В реальности находят применение только Гамма-функция и дробные тензоры типа спина.

 Профиль  
                  
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение10.06.2009, 17:55 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Можно сделать какое-нибудь вырожденное возведение в матричную степень, результатом будет число того же типа, что и основание степени - возводить в степень определителя матрицы

 Профиль  
                  
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение18.06.2009, 19:36 


15/09/08
26
AD в сообщении #220024 писал(а):
Ну ничего, мы для начала ограничимся квадратными матрицами, и определим $$e^A=\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{k!}$$
что вполне общепринято, хотя и вправду, как заметил arseniiv, не число (кстати, если кватернионы считать числами, то рассуждение arseniiv не проходит).
Только что дальше - не понятно. Может, это надо для функций многих переменных просто проделывать? Или даже, наверное, для вектор-функций одной переменной?


Недавно спрограммировал таким образом возведение е в матричную степень и логарифм от матрицы. Потом вычислил корень из матрицы, перемножил эту матрицу саму с собой и в результате получилась исходная матрица. Довольно забавные вещи так можно сотворять :)

-- Чт июн 18, 2009 20:58:07 --

Nxx в сообщении #220478 писал(а):
Например, тетрация. Слабо обобщить на нецелые высоты?

Я пару способов обобщения знаю, но они действуют не для любой базы и вообще туго вычисляются.


Это типо если X^^2 = 27, то X = 27^^0.5 = 3. (где Х^^N - тетрация). А что для других вещественных чисел, которые не имеют вид 1/N вообще не понятно. Можете сказать, что это за способы и где про них можно узнать?

Можно еще ввести совсем уж накрученную вещь - тетрацию "треугольной" степени :D (про треугольные числа можно узнать здесь http://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольное_число) :D .

 Профиль  
                  
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение18.06.2009, 20:11 


20/07/07
834
Цитата:
Это типо если X^^2 = 27, то X = 27^^0.5 = 3. (где Х^^N - тетрация).

Нет, это не работает. Обратный показатель высоты в тетрации не соответствует обратной операции.

Цитата:
А что для других вещественных чисел, которые не имеют вид 1/N вообще не понятно. Можете сказать, что это за способы и где про них можно узнать?

Этот материал сейчас готовится к публикации в научном журнале. Способов много, но они действуют, как правило, не для любой базы, а только для какого-то интервала. Вот тут http://en.wikipedia.org/wiki/User:MathF ... on_Summary можно увидеть пару формул, а также, метод, опубликованный Дмитрием Кузнецовым для основания e (хотя его метод применим для базы > $e^{1/e}$ ). Метод Кузнецова вот тут: http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/analuxp99.pdf но хрен разберешься. Тем не менее, его программа для Mathemetica работает очень быстро.

 Профиль  
                  
 
 Re: производные дробных порядков
Сообщение18.06.2009, 21:11 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
kvanttt в сообщении #223126 писал(а):
Недавно спрограммировал таким образом возведение е в матричную степень и логарифм от матрицы. Потом вычислил корень из матрицы, перемножил эту матрицу саму с собой и в результате получилась исходная матрица. Довольно забавные вещи так можно сотворять :)

О, а как вычисляли логарифм? Вроде "хорошего" ряда для него нет, чтобы применять к матрицам? А экспоненту с определённой точностью вычисляли, да?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group