математический анализ. Несобственный интеграл

[Алина:)]

здравствуйте!
заранее благодарю за помощь.
задача
$f>0 $ на $\left[a; +\infty\right]$
доказать ,что$\int_{a+1}^{\infty}( \frac{\int_{a}^{\infty} f(y) dy} {\int_{a}^{x} f(t) dt} )dy$ расходится

кажется,что можно доказать по коши. но не пойму как

[terminator-II]

Алина:) в сообщении #219666 писал(а):

здравствуйте!
заранее благодарю за помощь.
задача
$f>0 $ на $\left[a; +\infty\right]$
доказать ,что$\int_{a}^{\infty} f(x) dx$ расходится

кажется,что можно доказать по коши. но не пойму как

проверьте это утверждение для $a=1$ и $f(x)=1/x^2$

[ewert]

Алина:) в сообщении #219666 писал(а):

кажется,что можно доказать по коши. но не пойму как

а и никак, требования к функции заведомо чересчур уж слабы

[Алина:)]

простите.. условие не так записала..
исправила

[Dan B-Yallay]

Алина:) в сообщении #219677 писал(а):

простите.. условие не так записала..
исправила

Не вижу никаких изменений в уcловии.
Из того что функция положительна не следует ни сходимость интеграла, ни его расходимость.
Пример вам дал terminator-II

[Алина:)]

да,с тем,неправильным,я поняла и правда,показательный пример

[ewert]

Алина:) в сообщении #219677 писал(а):

простите.. условие не так записала..исправила

Ничего себе исправили!

Если в числителе для определённого интеграла переменной интегрирования является $x$, то эту же переменную как минимум невежливо использовать в качестве предела интегрирования снизу. Кроме того , там и дифференциала-то нет никакого как класса.

Исправьте ещё раз во избежание недоразумений.

(После этого у меня лично появится ещё одна придирка, но сперва всё-таки исправьте.)

[Алина:)]

но вроде две одинаковые переменные-это не существенно особго

[Dan B-Yallay]

$\int_{a+1}^{\infty}( \frac{\int_{a}^{\infty} f(y) dy} {\int_{a}^{x} f(t) dt} ) \ ??$

Дифференциал где? По какой переменной внешний интеграл берется?

[Алина:)]

по верхней, по y

[ewert]

Алина:) в сообщении #219690 писал(а):

но вроде две одинаковые переменные-это не существенно особго

но только не в том случае, когда одна используется в качестве внутренней переменной, другая же -- в качестве внешней. Исправьте уж, будьте любезны. И про дифференциал не забудьте. Обратите внимание, что я ведь не один такой зануда.

[Dan B-Yallay]

$\int_{a+1}^{\infty}( \frac{\int_{a}^{\infty} f(y) dy} {\int_{a}^{x} f(t) dt} ) \ dy$


Вот так что ли? O,,o
Это неприличная запись, вам об этом уже сказали. Кроме того, подинтегральная функция-дробь от игрека не зависит, а зависит от икса. Напишите все по-человечески.

[--mS--]

Dan B-Yallay в сообщении #219701 писал(а):

$\int_{a+1}^{\infty}( \frac{\int_{a}^{\infty} f(y) dy} {\int_{a}^{x} f(t) dt} ) \ dy$


Вот так что ли? O_o
Это неприличная запись, вам об этом уже сказали.

А чего, зато просто проверяется расходимость Интеграл от положительной постоянной, от $y$ не зависящей, в крайнем случае от плюс бесконечности. Параметр $x$ роли не играет, всё хорошо

[Алина:)]

я запуталась..
записано так
$f>0 $ на $\left[a; +\infty\right]$
доказать ,что$\int_{a+1}^{\infty}( \frac{\int_{a}^{\infty} f(x) dx} {\int_{a}^{x} f(t) dt} )dx$

если сверху и снизу должны быть разные,то тогда видимо записывается так
$f>0 $ на $\left[a; +\infty\right]$
доказать ,что$\int_{a+1}^{\infty}( \frac{\int_{a}^{\infty} f(y) dy} {\int_{a}^{x} f(t) dt} )dx$

[Dan B-Yallay]

$f>0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\int_{a}^{\infty} f(y) dy} {\int_{a}^{x} f(t) dt} \ge 1$

А отсюда уже расходимость очевидна.