Аналитическая функция является гладкой (док-во)

[Bridgeport]

Помогите доказать, что аналитическая функция является гладкой. У меня загвоздка прямо на первом шаге.
Если $f(х):=\sum_{j=0}^{\infty}a_jx^j$ сходится на $\mathbb R$, как доказать, что $\sum_{j=0}^{\infty}a_jjx^{(j-1)}$ тоже соидется на всей $\mathbb R$?

[AD]

Есть же явная формула для радиуса сходимости. Докажите, что она для двух рядов дает одинаковый результат, вот и всё.

[ewert]

Тут всё одновременно и сложнее -- и гораздо проще. Есть известное утверждение: если ФКП дифференцируема поточечно в некоей области -- то она там регулярна, а стало быть, и бесконечно дифференцируема в той же области (см. Шабата, к примеру).

А в данном случае всё ещё тривиальнее. Радиус сходимости степенного ряда не меняется при формальном дифференцировании. При этом строго внутри круга сходимости все упомянутые ряды сходятся равномерно, а значит -- формальные дифференцирования законны, а значит -- дифференцируй как бог на душу положит, и всё будет корректно.

[Bridgeport]

Спасибо за ответы!

По поводу ответа AD: тесты на сходимость с которыми я знаком, не дают возможность заключить сходимость одного ряда из другого. Не могли бы вы указать какой тест вы предлагаете использовать?

По поводу ответа ewert: меня интересует только действительная переменная, но я не против того, чтобы воспользоваться методами из комплексного анализа. Если ситуация тривиальна, можно ли доказать сходимость не прибегая к комплексному анализу?

[AD]

Bridgeport в сообщении #219403 писал(а):

Не могли бы вы указать какой тест вы предлагаете использовать?

Формула Коши-Адамара. Она есть

AD в сообщении #219187 писал(а):

явная формула для радиуса сходимости

$${1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}} \, \sqrt[n]{|a_n|}$$

[Bridgeport]

Спасибо!

[ewert]

Bridgeport в сообщении #219403 писал(а):

По поводу ответа ewert: меня интересует только действительная переменная, но я не против того, чтобы воспользоваться методами из комплексного анализа. Если ситуация тривиальна, можно ли доказать сходимость не прибегая к комплексному анализу?

В принципе -- никто не может запретить. Упомянутые мной теоремы о равномерной сходимости степенного ряда и её (равномерности) связи с корректностью формальных дифференцирований -- по происхождению сугубо вещественны, и уж потом на автомате распространяются в комплексную плоскость.