Задача на доказательство. Теория колец.

[galileopro]

Есть конечное кольцо.
Доказать, что если в нем нет делителей нуля, то для каждого елемента найдется обратный.
И наоборот.
Если делители нуля есть, то обратного елемента не найдется.
Другими словами.
Чтобы в конечном кольце существовал обратный елемент, необходимо и достаточно, чтобы оно было областью целостности.

[Brukvalub]

galileopro в сообщении #217061 писал(а):

Чтобы в конечном кольце существовал обратный елемент, необходимо и достаточно, чтобы оно было областью целостности.

Вот кольцо $\[Z_4 \]$. В нем 2Х2=0, а 3Х3=1, то есть делители нуля есть, но для тройки она сама является обратным элементом...
Странно....

[Хорхе]

(Для кольца с единицей).

Возьмите $a\in R\setminus\{0\}$ и рассмотрите элементы $ax$, $x\in R\setminus\{0\}$. Если среди них нет ни единицы ни нуля, то... Дальше сами.

[galileopro]

Обратный нужно искать к элементу, для которого имеется (или не имеется) правый (левый) делитель нуля.
Я попробовал так
$a\cdot b=0$ (1)
$a\not=0$ и $b\not=0$
попробуем найти обратный к b
Пусть существует $b^{-1}$ : $b^{-1}\cdot b=1$
Домножим (1) справа на $b^{-1}$
Получим:
$a=0$
Но $a\not=0$ противоречие, значит обратного к $b$ нет.
Мне кажется, что эта здачка - это следствие из закона сокращения.
Хорхе, R - не конечное множество.
Напишите: моё доказательство нормальное?

[AKM]

AKM:

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

[AKM]

Возвращено.

galileopro, в Вашем сообщении почему-то был поставлен флажок "Отключить в этом сообщении BBCode", чего не должно быть для правильного отображения формул, шрифтов, цвета, и пр. Проверьте, может это идёт из Ваших личных настроек. А может случайность.

[Бодигрим]

galileopro в сообщении #217061 писал(а):

Чтобы в конечном кольце существовал обратный елемент, необходимо и достаточно, чтобы оно было областью целостности.

galileopro в сообщении #217066 писал(а):

Хорхе, R - не конечное множество.

-- 12:14 03.06.2009 --

galileopro в сообщении #217066 писал(а):

Напишите: моё доказательство нормальное?

Не забывайте, что вам еще в другую сторону доказывать эквивалентность надо. А именно, доказать, что если нет делителей нуля, то есть обратный элемент.

[galileopro]

Доказательство достаточности:
Допустим K - конечное кольцо.
$K=[ a^{0},a^{1},a^{2},...,a^{n-1} ]$
$a^{0}$ - еденичный элемент
$a^{n}=a^{0}$
$a^{i} \not = 0$ и $a^{i} \not =a^{j}$ при $i \not = j$
Возьмем некоторый произвольный элемент $a_{1}=a^{i}$ и рассмотрим подкольцо $K_{1}=[ a_{1} \cdot a^{0},a_{1} \cdot a^{1},a_{1} \cdot a^{2},...,a_{1} \cdot a^{n-1} ]$ все элементы этого подкольца различны:
Пусть $a_{1} \cdot a^{i}=a_{1} \cdot a^{j}$ и $i \not = j$ тогда так как K - целостное кольцо и $a^{i} \not= a^{j}$ то по закону сокращения $a^{i}=a^{j}.$ Противоречие.
Значит все элементы различны, и так как $K_{1}$ - подкольцо конечного кольца то всегда найдется $m$ такое, что $a_{1} \cdot a^{m} = a^{0}=1$
и тогда $a^{m}$ - обратный к $a_{1}=a^{i}$.
Из этого следует, что бесконечная область целостности может и не быть полем. Например множество целых чисел.
У меня возник вопрос: почему? В чем мегаразличие конечной и бесконечной областей целостности?
Просба тех, кто может, написать отзывы по поводу правильности доказательств.

[Бодигрим]

У вас как-то странно тег math расставился. Пожалуйста, отредактируйте свое сообщение вручную.

[bot]

galileopro в сообщении #219489 писал(а):

Доказательство достаточности:
Допустим K - конечное кольцо.
$K=[ a^{0},a^{1},a^{2},...,a^{n-1} ]$

То есть Вы сразу предполагаете, что все элементы кольца являются степенями одного элемента $a$. Далее читать смысла не имеет.

[galileopro]

Необязательно степенями. Я видимо некорректно расставил индексы. Имеется в виду, что просто в кольце $n$ элементов от $0$ до $n-1$ - го, и $n$ равен первому $n+1$ - й второму и так далее.
Это может быть, например кольцо, в котором заданы операции сложения и умножения по модулю $p$, где $p$ - простое число.

-- Чт июн 04, 2009 13:59:13 --

Хорхе в сообщении #217065 писал(а):

Если среди них нет ни единицы ни нуля, то... Дальше сами.

Область целостности или целостное кольцо - это кольцо с еденицей отличной от нуля, в котором нет делителей нуля. Значит там должна быть едениа, отличная от нуля.

[bot]

galileopro в сообщении #219575 писал(а):

Необязательно степенями.

Зачем превращать в ребус указание Хорхе?
Если Вам непременно хочется занумеровать все элементы конечного кольца, то начните хотя бы так:
Пусть $K$ - неодноэлементное кольцо без делителей нуля и $k_1,\ k_2,\ \dots \ k_{n} -$ все его ненулевые элементы. Далее практически по Вашему тексту:
Домножим эти элементы на произвольный ненулевой элемент $k\in K$ слева ...

Цитата:

В чем мегаразличие конечной и бесконечной областей целостности?

А как же Вы получили, что среди написанных произведений есть единица? Разве конечность $K$ здесь никак не работала?

[galileopro]

Да, точно. Работала.
А может кто-нибудь объяснить: я предполагал, что все элементы кольца отличны от нуля, то есть в кольце вообще нет нулевого элемента, а может лучше действительно предполагать, что в кольце есть ненулевые, но мы их не рассматриваем, как сказал bot?

bot в сообщении #219625 писал(а):

Пусть $K$ - неодноэлементное кольцо без делителей нуля и $k_1,\ k_2,\ \dots \ k_{n} -$ все его ненулевые элементы.

Вообще нулевой элемент должен быть иначе операция сложения в этом конечном кольце будет задана некорректно.

[Бодигрим]

Нуль в кольце по определению один. "Относительно операции сложения существует и единственен нейтральный элемент..."

[galileopro]

Да я уже сам вспомнил. Спасибо.
Теперь у меня вопрос: при доказательстве рассматривать или не рассматривать нулевой элемент, ведь с одной стороны это элемент кольца, а с другой, на задание операции умножения он не влияет.
Я при доказательстве пользуюсь

galileopro в сообщении #219489 писал(а):

$a^{i} \not = 0$

а можно ли доказать если брать в рассмотрение нулевой элемент?
И вообще мне ситуация с этим нулевым элементом не ясна. Помогите плиз.