Задачи по дифф. геометрии

[Dower]

Здравствуйте, очень нужна помощь в решении задачь по топологии. Сдавать задание надо в пятницу.

К поверхности $xyz =1$ проведите касательную плоскость (напишите уравнение) параллельную плоскости $x+y+z-3 = 0$

Найти полную кривизну прямого геликоида $x = ucosv, y = usinv, z = av$

Найти асимптотические линии поверхности $z=x/y+y/x$

Заголовок исправлен (AKM).

[VAL]

Dower в сообщении #219122 писал(а):

Здравствуйте, очень нужна помощь в решении задачь по топологии. Сдавать задание надо в пятницу.

К поверхности $xyz =1$ проведите касательную плоскость (напишите уравнение) параллельную плоскости $x+y+z-3 = 0$

Найти полную кривизну прямого геликоида $x = ucosv, y = usinv, z = av$

Найти асимптотические линии поверхности $z=x/y+y/x$

А причем тут топология? Это ж типичная дифференциальная геометрия.
Соответственно, возьмите, например, "Сборник задач и упражнений по дифференциальной геометрии" под редакцией Воднева. Там подобные задачки разобраны.

[Dower]

Да ошибся, это не топология. Но все равно помогите их решить.

[Dan B-Yallay]

Мне интересно, если человек за 3 дня до сдачи задания не отличает топологию от дифф. геометрии, сможет ли он наверстать?

Ссылки вам дали. Начните решать и если не получается - выложите ссюда ваше решение. Потом уже можно пытаться вам помочь. А решать за вас - Правилами запрещено.

[Dower]

Ошибся я потому что сегодня зачет сдавал по топологии и голова была ей забита.

Вот решил с помощью товарищей 1 задание.

$F(x,y,z) := xyz-1=0$

уравнение касательной плоскости.
$(dF(x0,y0,z0))/dx)*(x-x0) + (dF(x0,y0,z0))/dx)(y-y0) + (dF(x0,y0,z0)) dx)*(z-z0) = 0 $
М (1;1;1)
и тогда уравнение косательной
$yz*(x-1) + xz*(y-1) + xy*(z-1) = 0$

правильно?

[Dan B-Yallay]

Dower в сообщении #219150 писал(а):

Ошибся я потому что сегодня зачет сдавал по топологии и голова была ей забита.

Вот решил с помощью товарищей 1 задание.

$F(x,y,z) := xyz-1=0$

уравнение касательной плоскости.
$(dF(x0,y0,z0))/dx)*(x-x0) + (dF(x0,y0,z0))/dx)(y-y0) + (dF(x0,y0,z0)) dx)*(z-z0) = 0 $
М (1;1;1)
и тогда уравнение косательной
$yz*(x-1) + xz*(y-1) + xy*(z-1) = 0$

правильно?

Это вы написали уравнение касательной плоскости в точке (1,1,1) (Правильно нашли). В задании же говорится про касательную, параллельную некоей заданной. Ваша точка М(1,1,1) принадлежит и заданной плоскости тоже.

[AD]

А ничего, что эта Ваша косательная не является плоскостью?

Dower в сообщении #219150 писал(а):

и тогда уравнение косательной
$yz*(x-1) + xz*(y-1) + xy*(z-1) = 0$

[VAL]

Dower в сообщении #219150 писал(а):

$F(x,y,z) := xyz-1=0$
уравнение касательной плоскости.
$(dF(x0,y0,z0))/dx)*(x-x0) + (dF(x0,y0,z0))/dx)(y-y0) + (dF(x0,y0,z0)) dx)*(z-z0) = 0 $
М (1;1;1)
и тогда уравнение косательной
$yz*(x-1) + xz*(y-1) + xy*(z-1) = 0$
правильно?

Нет.
То, что точка $М(1;1;1)$ принадлежит поверхности верно.. Верно и то, что касательная плоскость в ней будет паралллельна данной плоскости (хотя это еще надо обосновать). Даже общий вид уравнения касательной плоскости правильный. Но вот ответ...
У Вас получилось уравнение третьей степени, а плоскость задается линейным уравнением.

[AKM]

Dower в сообщении #219150 писал(а):

уравнение касательной плоскости.
$(dF(x0,y0,z0))/dx)*(x-x0) + (dF(x0,y0,z0))/dx)(y-y0) + (dF(x0,y0,z0)) dx)*(z-z0) = 0 $

Упрощаю Вашу запись и исправляю ошибку (одну: $dx,dx,dx \to dx,dy,dz$):
$(dF/dx)(x-x_0) + (dF/dy)(y-y_0) + (dF/dz)(z-z_0) = 0 $
(производные берутся в точке $x_0,y_0,z_0$)

Индексы пишутся так: $x_0$, дроби --- $\dfrac{dF}{dx}$: $\dfrac{dF}{dx}$. При желании --- $\dfrac{\partial F}{\partial x}$: $\dfrac{\partial F}{\partial x}$.

[Dan B-Yallay]

Dower в сообщении #219150 писал(а):

Ошибся я потому что сегодня зачет сдавал по топологии и голова была ей забита.

Вот решил с помощью товарищей 1 задание.

$F(x,y,z) := xyz-1=0$

уравнение касательной плоскости.
$(dF(x_0,y_0,z_0))/dx)*(x-x0) + (dF(x_0,y_0,z_0))/dx)(y-y0) + (dF(x_0,y_0,z_0)) dx)*(z-z0) = 0 $
М (1;1;1)
и тогда уравнение косательной
$yz*(x-1) + xz*(y-1) + xy*(z-1) = 0$

правильно?

Производную надо вычислить в точке $M_0=(x_0,y_0,z_0)$

$(dF(x_0,y_0,z_0))/dx)(x-x0) + (dF(x_0,y_0,z_0))/dx)(y-y0) + (dF(x_0,y_0,z_0)) dx)(z-z0) = 0 $
М (1;1;1)
и тогда уравнение касательной
$y_0z_0(x-x_0) + x_0z_0(y-y_0) + x_0y_0(z-z_0) = 0$

[Dower]

Спасибо всем за помощь.
Осталось решить 2 задания. Как что-нибудь решу, напишу сюда для проверки.

[AKM]

Вам осталось выбрать точку $x_0,y_0,z_0$ так, чтобы она лежала на поверхности $xyz =1$, и чтоб вышенайденная плоскость была параллельна плоскости $x+y+z-3 = 0$

[Dower]

AKM в сообщении #219165 писал(а):

Вам осталось выбрать точку $x_0,y_0,z_0$ так, чтобы она лежала на поверхности $xyz =1$, и чтоб вышенайденная плоскость была параллельна плоскости $x+y+z-3 = 0$

Так вроде (1;1;1) подходит.

[Dan B-Yallay]

Dower в сообщении #219166 писал(а):

AKM в сообщении #219165 писал(а):

Вам осталось выбрать точку $x_0,y_0,z_0$ так, чтобы она лежала на поверхности $xyz =1$, и чтоб вышенайденная плоскость была параллельна плоскости $x+y+z-3 = 0$

Так вроде (1;1;1) подходит.

Да, вам повезло

[Dower]

Dan B-Yallay в сообщении #219167 писал(а):

Dower в сообщении #219166 писал(а):

AKM в сообщении #219165 писал(а):

Вам осталось выбрать точку $x_0,y_0,z_0$ так, чтобы она лежала на поверхности $xyz =1$, и чтоб вышенайденная плоскость была параллельна плоскости $x+y+z-3 = 0$

Так вроде (1;1;1) подходит.

Да, вам повезло

Хотя если подставить эту точку получится что уравнение касательной плоскости совпадает с уравнением той плоскости, которой д.б. параллельна

-- Вт июн 02, 2009 20:03:19 --

Вот по второму заданию.

К-полная кривизна



Но если все добавить в первую формулу получается каша.