размерность фазового пространства системы n тел

[Таня Тайс]

Здравствуйте!

Вопрос, который я давно хотела задать: Почему фазовое пространство системы n твёрдых тел имеет размерность 12n?
Мой ответ: 3 положения центров масс, 3 скорости, 3 вращения вокруг себя и 3 вращения друг относительно друга. Верно ли это? Спасибо.

[ewert]

Вращений друг относительно друга не бывает (т.е. оно описывается уже упомянутыми скоростями). Но зато пропущены три угла поворота для каждого тела.

[Таня Тайс]

Вы, ewert, имеете в виду, расположение тел друг относительно друга (3 угла) и скорость изменения этих углов (3 скорости вращения)?

[ИСН]

ewert, скорее всего, имел в виду ровно то, что сказал. Расположение тел относительно друг друга описывается уже упомянутыми координатами центров масс.
Забейте на "относительно". Возьмите одно тело. Совсем одно. С ним всё ясно?

[Таня Тайс]

Одно тело:
координаты центра масс $\varrho$ (3 штуки),
скорость центра масс $\dot{\varrho}$(3 проекции),
2 угла $\varphi, \vartheta$, задающие расположение тела в пространстве -
для любой точки, не совпадающей с центом масс (4 штуки - проекции на плоскости $\cos \varphi , \sin \varphi , \cos \vartheta, \sin \vartheta$),
вращение вокруг центра масс (скорость вращения = скорость изменения этих углов $\dot{\varphi}, \dot{\vartheta}$ т.е. еще 2 штуки)?

[ИСН]

Три! Три! Три угла задают положение тела в пространстве, если тело хорошо кормили! (Если тощее, как отрезок - тогда, конечно, два.) Остальное банально.

[Таня Тайс]

а в полярных координатах два

[ИСН]

Два, если угодно, задают направление (точку на сфере). Для положения тела этого мало. Вот я стою ногами на земле, головой туда (см. два угла), а лицом куда?

[Таня Тайс]

ИСН
Голова это скорее сфера, точкой можно назвать кончик носа.
Всё понятно, спасибо.

[Zo]

Таня Тайс, а Вы посмотрите картинку с углами Эйлера - она всегда в книжках по теормеху есть - там все хорошо нарисовано -сразу понятно, зачем нужны три угла.

[Таня Тайс]

Спасибо!
Т.е. для одного тела будет так:
координаты центра масс $\varrho$ (3 штуки),
скорость центра масс $\dot{\varrho}$(3 проекции),
3 угла $\varphi, \vartheta, \theta $, задающие расположение тела в пространстве,
скорость изменения этих углов $\dot{\varphi}, \dot{\vartheta}, \dot{\theta} $ (еще 3 штуки).

[ИСН]

Например, так. (Только я бы это называл не "расположение", а "ориентация").

[ShMaxG]

Ну или так: берем произвольную точку - для нее 3 степени свободы. Фиксируем первую, берем вторую - она уже может только на сфере лежать - 2 степени свободы. Фиксируем и ее. Берем третью точку. Она может лежать только на окружности -1 степень свободы. Итого: 6 обобщенных координат. Да +6 обобщенных скоростей. Итого: 12 координат для одного твердого тела.