σ-алгебра

[inf76]

«Если имеется некоторая система множеств F, то всегда существует хотя бы одна σ-алгебра, содержащая эту систему. Действительно, положим

$$X=\bigcup\limits_{x\in F} A$$

и рассмотрим систему Q всех подмножеств множества X. Ясно, что Q есть σ-алгебра, содержащая F. Если P – произвольная σ-алгебра, содержащая F, и L – её единица, то каждое $A\in F$ содержится в L и, следовательно, $X=\bigcup\limits_{x\in F} A\subset L$. Назовём σ-алгебру Q неприводимой (по отношению к системе F), если $L =\bigcup\limits_{x\in F} A$. Иначе говоря, неприводимая σ-алгебра – это σ-алгебра, не содержащая точек, не входящих ни в одно из $A\in F$.»

Это часть страницы 52 (с заменой некоторых обозначений) из седьмого издания Колмогорова и Фомина.
Два вопроса:
1. Почему Х объединение всех $A\in F$ принадлежит σ-алгебре P? Откуда это «следовательно»? Объединение всех А может не быть счётным.
2. «… это σ-алгебра, не содержащая точек, не входящих ни в одно из А…». О каких точках речь? Ведь в σ-алгебру входят множества.

[AD]

В пункте 1 Вы допустили ту самую ошибку, которую разоблачили в пункте 2. Объединение не "принадлежит алгебре", а "содержится в ее единице". Похоже?

Но ошибка, разоблаченная во втором пункте, вполне простительна, ибо мысль понятна.

Вообще, какие-то странные размышления вначале. Не вылезаем ли мы тут за пределы ZFC?

[Xaositect]

AD в сообщении #218694 писал(а):

Вообще, какие-то странные размышления вначале. Не вылезаем ли мы тут за пределы ZFC?

Где?
Там написано, что $Q = \mathcal{P}(\bigcup\limits_{A\in F} A)$ есть $\sigma$-алгебра, содержащая $F$

[--mS--]

inf76 в сообщении #218689 писал(а):

2. «… это σ-алгебра, не содержащая точек, не входящих ни в одно из А…». О каких точках речь? Ведь в σ-алгебру входят множества.

Видимо, фразу следует читать как «это σ-алгебра, элементы которой не содержат точек, не входящих ни в одно из А…»

[inf76]

ADвсообщении #218694 писал(а):

В пункте 1 Вы допустили ту самую ошибку, которую разоблачили в пункте 2. Объединение не "принадлежит алгебре", а "содержится в ее единице". Похоже?

Да. Тут всё стало ясно. Итак, Речь идёт о том, что X подмножество L.

ADвсообщении #218694 писал(а):

Но ошибка, разоблаченная во втором пункте, вполне простительна, ибо мысль понятна.

Здесь бы хотелось пояснений. Вы считаете, что речь идёт о ещё каких-то множествах не являющимися подмножествами X, но являющимися подмножествами L?

ADвсообщении #218694 писал(а):

Вообще, какие-то странные размышления вначале. Не вылезаем ли мы тут за пределы ZFC?

Вот тут ничего не понял. Причём здесь система аксиом? (Хотя она и всегда при чём).

-- Вс май 31, 2009 22:35:14 --

--mS-- в сообщении #218711 писал(а):

inf76 в сообщении #218689 писал(а):

2. «… это σ-алгебра, не содержащая точек, не входящих ни в одно из А…». О каких точках речь? Ведь в σ-алгебру входят множества.

Видимо, фразу следует читать как «это σ-алгебра, элементы которой не содержат точек, не входящих ни в одно из А…»

Я так и подумал, но хотелось услышать это от кого-нибудь ещё.

[AD]

inf76 в сообщении #218715 писал(а):

Здесь бы хотелось пояснений. Вы считаете, что речь идёт о ещё каких-то множествах не являющимися подмножествами X, но являющимися подмножествами L?

Ну в смысле и так понятно, что имеется ввиду, что точки не "содержатся в $\sigma$-алгебре", а "принадлежат ее единице"

Xaositect в сообщении #218705 писал(а):

Где?

Ну это я, видимо, так среагировал на словосочетание "система множеств". Да, вроде все нормально.

[inf76]

Спасибо. Всё встало на свои места.