Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле

[ellipse]

Если на промежутке $I_x$

$\int f(x) dx = F(x) + C$

a $g(t)$ - непрерывно дифференцируемое отображение $I_t$ в $I_x$, то

$\int f(g(t))g'(t)dt= (F\circ g)(t) + c$

Для чего необходима непрерывная дифференцируемость $g(t)$?

[AD]

Ну, очевидно, чтобы второй интеграл существовал хотя бы. Такое грубое достаточное условие.

Хотите более точный ответ - уточните, в каком смысле понимается интеграл.

[ewert]

Ради предосторожности. Строго говоря, достаточна принадлежность той функции классу $L_1$, с какими-то там ограничениями на внешнюю функцию, но кому это интересно.

[ellipse]

AD в сообщении #218680 писал(а):

Ну, очевидно, чтобы второй интеграл существовал хотя бы. Такое грубое достаточное условие.

Хотите более точный ответ - уточните, в каком смысле понимается интеграл.

Это теорема из Зорича. Интеграл неопределенный т.е. обозначает первообразную функции.

-- Вс май 31, 2009 21:43:42 --

Правильно я понял можно ослабить условие так:

Если $\int f(g(t))g'(t)dt$ определена, то $\int f(g(t))g'(t)dt= (F\circ g)(t) + c$

Или непрерывность функции необходима для существования первообразной?

[AD]

Цитата:

Интеграл неопределенный т.е. обозначает первообразную функции.

Ну тогда расскажите, что такое первообразная, и, главное, в каком смысле понимается производная. Только точными формулировками, ладно? У первообразной производная должна существовать и быть равной чему надо всюду? Или разрешается пропустить конечное число точек? Или даже счетное?

Вообще, даже если производная существует всюду, она вовсе не обязана быть непрерывной. И может даже иметь очень много очень страшных разрывов.