Непрерывность функции двух переменных

[Voodoo Man]

Собственно говоря, задание:

Доказать, что если функция $f(x,y)$ на множестве $E$ непрерывна по $x$, а по $y$ непрерывна и монотонна, то $f(x,y)$ непрерывна на множестве $E$

Мои мысли по поводу задания (увы, пока глубиной не блещут):

Для доказательства непрерывности функции на множестве необходимо показать, что функция непрерывна в каждой точке этого множества. Рассмотрим произвольную точку $M_{0} (x_{0}, y_{0})$, $M_{0} \in E$. Непрерывность исходной функции $f(x,y)$ по своим аргументам приводит к рассмотрению функций $\hat f(x) = f(x, y_0)$ и $\tilde f(y) = f(x_0, y)$, для которых я записываю условие непрерывности, для $\tilde f(y)$ ещё и условие монотонности на $E$.

Ну и остаётся вопрос : как показать, что предел функции $f(x,y)$ в точке $M_{0}$ совпадает со значением функции в этой точке?

P.S. - нужна в общем-то подсказка, на что именно обратить внимание, а дальше я возможно и сам соображу.

[Хорхе]

Нужны какие-то предположения относительно множества $E$. Скажем, если я возьму $E=\{(x,y): x=y\}$, то любая функция будет удовлетворять Вашему условию, но, очевидно, не любая будет непрерывна.

[ewert]

Я бы так сказал. Не знаю, что там будет в случае произвольных монотонностей. Но предположим, что монотонность -- в одну сторону; для определённости положим, что для каждого из иксов по игрекам функция не убывает.

И во избежание ненужных значков будем считать, что в центральной точке функция равна нулю, и что начальные координаты нулевые (естественно).

Так вот. Обозначим $f^+_{\varepsilon}(y)\equiv\sup\limits_{x\in[-\varepsilon;\varepsilon]}f(x,y)$ для произвольного $\varepsilon>0$, и для нижних границ аналогично. Ясно, что функция $f^+_{\varepsilon}(y)$ неубывает и, следовательно, имеет предел по игрекам. Ясно также, что этот предел (в силу непрерывности по игрекам при фиксированных иксах) равен $f^+_{\varepsilon}(0)$. Что заведомо стремится к нулю при $\varepsilon\to0$. Откуда и следует существование предела, равного нулю, по совокупности переменных.

[ewert]

Позволю себе прибегнуть к запрещённому приёму -- к "подъёму темы". Но лишь потому, что предыдущее сообщение было недостаточно внятным.

Так вот. Независимо от направления монотонностей в различных точках.

Проводим несколько достаточно очевидных трюков.

1). Естественно, сдвигаем координаты так, чтобы оказалось $x_0=0,\ y_0=0.$ Просто чтоб не париться с обозначениями.

2). Вычитаем из исходной функции $f(x,0)$ (это не повлияет на разрывность или непрерывность). Имеем тем самым дело с функцией, для которой $f(x,0)\equiv0,$ и пытаемся доказать, что предел этой функции в начале координат равен нулю.

3). Достаточно доказать это утверждение для верхней полуплоскости ($y\geqslant0$) и одновременно для нижней ($y\leqslant0$), а ввиду симметрии задачи -- только для верхней.

4). Для верхней полуплоскости стремление к нулю самой функции следует из стремления к нулю её модуля. Но модуль в верхней полуплоскости заведомо возрастает по игрекам при каждом фиксированном иксе. Тем самым задача сводится к предыдущему посту -- насчёт супремумов и т.д.

[Voodoo Man]

Спасибо большое всем за неоценимую помощь, с задачей разобрался!