Определение координат точки при повороте осей координат

[zark]

Здравствуйте помогите разобраться с такой задачей:


Сама задача решается так.
1. Поворачиваем систему координат $X_1Y_1Z_1O$ вокруг оси $OY_1$ на угол $\gamma$ рис. 1 б.
$\begin{pmatrix} X_2 \\ Y_2\\ Z_2\\ \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} \cos\gamma & 0 & \sin\gamma \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\gamma & 0 & \cos\gamma \\ \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} X_1\\ Y_1\\ Z_1\\ \end{pmatrix}$



Вот тут у меня и возникает вопрос:
1. Как получили этот угол $\psi$ (решая подобные задачи всегда ставил сразу угол $\beta$)
2. Если решая эту задачу мы поворачиваем сначала на угол $\gamma$ а потом на угол $\beta$ ($\psi$) то следует ли это понимать что стержень$Z_3 Z_3$ был установлен поворотами в такой последовательности сначала поворот на угол $\beta$ относительно оси $OX_1$ а затем на угол $\gamma$ относительно оси $OY_1$.

[vvvv]

Поворот нужно осуществлять вокруг оси, направленной по вектору нормали, являющегося векторным произведением данного вектора и
орта нужной оси.Угол(косинус угла) ищется по известным формулам

[zark]

Если Вы насчет такой формулы

$\cos\psi=\frac{\overline{Z_3Z_3}\cdot\overline{OZ_2}}{|\overline{Z_3Z_3}|\cdot|\overline{OZ_2}|}$

То как мне кажется из нее ни как не получить
$\tg\psi=tg\beta\cdot\cos\gamma$

[vvvv]

А зачем Вам получать тангенс фи
Повернуть нужно один раз вокруг оси, которая указана постом выше.
И еще, в математике рассматриваются не стержни, а векторы, так что замените каждый свой стержень вектором с тремя координатами.
Затем вращайте нужный Вам вектор, до совмещения с нужной координатной осью и, конечно, поверните на тот же угол и вокруг той оси другой вектор (стержень)
Должно получиться просто т.к. ось вращения проходит через начало координат.

[zark]

Вопрос как раз в том что я хочу разобраться именно в этом решение. И не могу понять как получен $\tg\psi$ и действительно ли повернув именно на угол $\psi$ ось $OZ_2$ займет положение $OZ_3$, соответствующее положению оси стержня $Z_3Z_3$.

[vvvv]

См.картинку.

[zark]

После долгих и упорных размышлений я смог прийти только к таким выводам. Что для определения угла через косинус как предложил vvvv первоначально необходимо корректно определить координаты одной из вершин стержня

В общем запутался окончательно…. пните в нужном направлении .