Heat equation

[hanabi]

господа, помогите разобраться с уравнением переноса тепла

оно записывается в виде дифференциального уравнения:

$\frac{\partial u}{\partial t} -k\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0$

объясните, пожалуйста, каков физический смысл этого уравнения?

обычно его записывают так:
$\frac{\partial u}{\partial t} = k \nabla^2 u$

ну хотя бы в одном измерении.

вроде объяснение формулы человеческими словами начинается так: "скорость изменения температуры во время t прямо пропорционально.... " - вот че это такое вот - эта сумма вторых производных - она что конкретно описывает? и почему именно сумма, а не разница?

как выводится это уравнение? есть где про это почитать? с пошаговым объяснением.

p.s. я не волшебник, я только учусь

[Парджеттер]

hanabi в сообщении #217517 писал(а):

как выводится это уравнение? есть где про это почитать? с пошаговым объяснением.

В принципе почти любой учебник по математической физике. Классический разжеванный - Тихонов, Самарский Уравнения математической физики. Там и физические задачи приведены.

[ewert]

hanabi в сообщении #217517 писал(а):

объясните, пожалуйста, каков физический смысл этого уравнения?

Плотность потока тепла по закону Фурье пропорциональна градиенту температуры. Суммарный поток тепла, вытекающего из "элементарного" объёма, пропорционален дивергенции плотности потока, т.е. в конечном счёте лапласиану от температуры (и самому объёму, разумеется). А с другой стороны, этот поток равен скорости изменения внутренней энергии данного объёма, т.е. фактически производной температуры по времени.

В общем, просто закон Фурье плюс закон сохранения энергии, и ничего более. Кстати, если среда неоднородна, то коэффициент теплопроводности сядет между дивергенцией и градиентом.

[OlegP]

Добрый день.

hanabi в сообщении #217517 писал(а):

господа, помогите разобраться с уравнением переноса тепла

оно записывается в виде дифференциального уравнения:

$\frac{\partial u}{\partial t} -k\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0$

объясните, пожалуйста, каков физический смысл этого уравнения?

обычно его записывают так:
$\frac{\partial u}{\partial t} = k \nabla^2 u$

ну хотя бы в одном измерении.

Давайте попробую просто объяснить.

Изменение температуры, или тепловой энергии тела, происходит, если это тепло куда-то передается или откуда-то прибретается. Путь у нас есть два тела разной температуры. Для того, что бы узнать, как будет менятся эта температура, надо узнать каков градиент, то есть перепад температуры(энергии) между ними - то есть
$\nabla u$. Кроме того надо узнать, что является источником тепловой энергии, а что приемником, то есть в каком направлении идет процесс, для этого надо взять дивергенцию $\nabla\cdot $ от градиента -$\nabla u$, то есть $\nabla^2 u$ . Дивергенция градиента, это в то же время оператор Лапласа. Хотя это пока для вас не важно. Но для определения скорости изменения тепловой энергии надо еще умножить на коэфициент k. Потому, что теплопроводность различна у разных материалов. Можно привести аналогию, с перетеканием заряда по проводнику - тут градиет будет показывать разность потенциалов, дивергенция направление течения заряда, а коефициент k сопротивление проводника.

Надеюсь не слишком погрешил, против истины, таким упрощенным объяснением.

С уважением, Олег.

[hanabi]

>>>> для этого надо взять дивергенцию от градиента

вот тут не совсем понятно что такое "взять дивергенцию от градиента"?

[OlegP]

hanabi в сообщении #217846 писал(а):

>>>> для этого надо взять дивергенцию от градиента

вот тут не совсем понятно что такое "взять дивергенцию от градиента"?

Давайте еще раз, пусть у нас есть некоторый набор точек в постранстве, в каждая точка имеет некоторую теплоту. Такой набор точек образует скалярное поле. Если мы найдем градиент этого скалярного поля, то получим набор векторов показывающих величину и направление изменения скалярного поля. Пример на плоскости - есть точка и вокруг нее еще четыре по четырем сторонам. У этой точки пусть температура 5 градусов, у двух точек слева и справа тоже температура 5 градусов, а температура точки ниже равна 5 градусов, а температура точки выше равна 10 градусов. После того как мы возьмем градиент, мы получим вектор исходящий из этой точки направленный вверх, то есть в сторону увеличения температуры и длиной в 5, показывающей шаг изменения температуры.
Если мы теперь возьмем дивергенцию этого векторного поля, то мы опять получим скалярное поле. То есть опять в каждой точке будет число, а не вектор.

Умножив это число на коэфициент теплопроводности, получим скорость с которой будет изменятся теплота (температура) этой точки.
Ведь коэфициент теплопроводности умноженный на градиент температуры, дает нам вектор потока энергии. А если мы хотим узнать величину этого потока в какую-то область то надо узнать сколько векторов пересекает поверхность этой области и как они направлены, внутрь области или из нее, что бы узнать сколько ватт получает эта облать или сколько теряет.

Прошу прощения, за корявость объяснений. Учил эти вещи давно, сам понимаю, а вот объяснить.... Не учитель я...

[hanabi]

похоже мне еще и векторный калкулюс надо изучить, чтобы понять это

[ewert]

OlegP в сообщении #217860 писал(а):

Если мы теперь возьмем дивергенцию этого векторного поля, то мы опять получим скалярное поле. То есть опять в каждой точке будет число, а не вектор. Умножив это число на коэфициент теплопроводности,

Неверно: коэффициент теплопроводности относится к закону Фурье, поэтому на него надо умножать после взятия градиента, но перед вычислением дивергенции. Порядок умножения безразличен только тогда, когда коэффициент теплопроводности постоянен, т. е. среда однородна. А саму дивергенцию надо умножать (точнее, делить) на удельную теплоёмкость.

hanabi в сообщении #217962 писал(а):

похоже мне еще и векторный калкулюс надо изучить, чтобы понять это

Ничего не попишешь -- надо. Правда, лишь самые основы, на уровне определений.

[OlegP]

ewert в сообщении #217968 писал(а):

Неверно: коэффициент теплопроводности относится к закону Фурье, поэтому на него надо умножать после взятия градиента, но перед вычислением дивергенции. Порядок умножения безразличен только тогда, когда коэффициент теплопроводности постоянен, т. е. среда однородна. А саму дивергенцию надо умножать (точнее, делить) на удельную теплоёмкость.

Да вы правы, в общем случае надо коэфициент умножать на градиент. Просто в тех задачах, что мы когда-то решали в универе, как правило была однородная среда, вот и выразился немного не точно. Сорри.

С уважением, Олег.