Ряды Белля

[Бодигрим]

Какие оценки можно получить для мультипликативной функции $f$, исходя из ее ряда Белля $f_p(x)=\sum_{k=0}^\infty f(p^k) x^k$?

А если функция не мультипликативна, а суб- или супмультипликативна? Т. е. для всех $m\perp n$ имеем $f(mn)\le f(m)f(n)$ или $f(mn)\ge f(m)f(n)$ соответственно.

[maxal]

Вопрос слишком общий. Какого рода оценки интересуют и для каких конкретно функций?

P.S. А почему "Белля"? Белл в родительном падеже склоняется как "Белла" - например, "число Белла", "ряд Белла", "полином Белла" и т.д.

[Бодигрим]

Интересует асимптотика либо самой функции, либо ее средних.

На самом деле мне просто не очень понятно, зачем мы их изучали на спецкурсе (только ради их связи со сверткой Дирихле?) и я предположил, что есть какие-то стандартные методы вывода из оценки для ряда Белла оценки исходной функции. Ну, что-то аналогичное тауберовым теоремам.

Более-менее конкретный пример: $k$-я итерация функции Эйлера

$$\phi^k=\underbrace{\phi\circ\cdot\circ\phi}_k.$$

У меня получилось, что

$$\phi^k_p(x)\sim {x^{k-1} \phi^k(p^{k-1})\over p}.$$

Можно ли отсюда получить какую-то оценку для $\phi^k$?