Условный экстремум.

[INDIGO1991]

Ни как не могу найти ошибку
вот решение(несколько раз перерешивал в ответе одна ерунда ):
Найти условный экстремум функции $u=x^2-y^2$ по условию $x^2+y^2=2x$

строю функцию логранжа и беру частные производные:

$L^{'}_{x}=2x+2\lambda (x-1)=0$
$L^{'}_{y}=-2y+2\lambda y=0$
$L^{'}_{\lambda}=x^2+y^2-2x=0$
решаю получившуюся систему
получаю 4 подозрительных точки
$1) (0,0), \lambda=0$
$2) (2,0), \lambda=-2$
$3) (1/2,\sqrt{3}/2), \lambda=-1$
$4) (1/2,-\sqrt{3}/2), \lambda=-1$

беру второй диференциал
$d^{2}L=(2+2\lambda)dx^2+(-2+2\lambda)dy^2$
в первой точке он знакопеременный соответственно там экстремума нет
вторая точка является точко строгово локального максимума
у 3 и 4 точки форма неотрицательноопредленная - берем дифиринциал по условию выражаем $dx$:
$dx=\frac{-y}{x-1}dy$
подставляю во второй дифференциал и получается две точки минимума.

А насколько я понимаю, когда условие окружность не может быть такого варианта, что две точки минимума и одна точка максимума((((

-- Ср май 27, 2009 09:17:38 --

Если можно, подскажите пожалуйста на каком этапе я ошибаюсь?

[ИСН]

Два минимума и один максимум на окружности быть не может. Прекрасно. А седловая точка что, может?

[Brukvalub]

INDIGO1991 в сообщении #217479 писал(а):

$d^{2}L=(2+2\lambda)d^{2}x+(-2+2\lambda)d^{2}y$

Неверная запись.

INDIGO1991 в сообщении #217479 писал(а):

берем дифиринциал по условию выражаем $dx$:
$dx=\frac{-y}{x-1}dy$

А почему бы не сделать это перед изучением всех 4-х стационарных точек?

[мат-ламер]

Цитата:

беру второй диференциал ...
в первой точке он знакопеременный соответственно там экстремума нет

Второй дифференциал надо брать не на всём пространстве, а на подпространствах, касательных к ограничению (в данном случае на прямой $x = 0$ ).

-- Ср май 27, 2009 14:10:50 --

Не совсем точно написал. Второй дифференциал надо рассматривать на подпространстве, которое проходит через $0$ и парралельно касательному аффинному подпространству. Точнее, см. Алексеев, Тихомиров, Фомин. Оптимальное управление. п. 3.4.1.

[INDIGO1991]

Brukvalub

я описался там $dx^2$ и $dy^2$

-----------------------------------
так до исследования всех точек подставляю диференциал уловия в $d^2L$
получаю:
$d^2L=dy^2((2+2\lambda)\frac{ y^2}{(x-1)^2} -2+2\lambda )$
Если так так то получается все попрежнему только еще в точке (0,0) максимум а остальное остается, ну впринципе "это уже сходиться с моими представлениями о жизни" (с)
Но одно непонятно почему когда сразу исследуешь точки в (0,0) получается нет экстремума?
Можете подсказать или книжку посоветовать.

з.ы. Насколько я помню, что если на этапе до подстановки диференциала по условию получается знакопеременная форма, то в этой точке нет экстремума

[Brukvalub]

INDIGO1991 в сообщении #217641 писал(а):

Но одно непонятно почему когда сразу исследуешь точки в (0,0) получается нет экстремума?

Потому, что при наложении условий на переменные накладываются условия и на их дифференциалы. Эти условия на дифференциалы могут сделать знакопеременную во всем кастельном пространстве форму знакоопределенной на касательном пространстве к многообразию, выделяемому наложенными на переменные связями.

INDIGO1991 в сообщении #217641 писал(а):

Насколько я помню, что если на этапе до подстановки диференциала по условию получается знакопеременная форма, то в этой точке нет экстремума

Освежите воспоминания.

[INDIGO1991]

ммм... Спасибо. Надеюсь смогу это завтра объяснить.