Минимизация функции на выпуклом множестве

[alleut]

Закоротило, месяц назад это казалось мне очевидным, но теперь не могу вспомнить почему это так.
Функция $f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ выпуклая, множество $\Omega$ выпукло.
Доказать, что в $(f'(x^*),x-x^*)\ge0 \forall x\in\Omega$ (скалярное произведение) - достаточное условие минимума $f(x)$ в точке $x^*$ на этом множестве.

[Brukvalub]

Здесь производная функции- это ее градиент, он сам и все направления, образующие с ним нетупой угол, указывают направления неубывания функции.
Выписанное Вами условие как раз и означает, что, отправляясь от данной точки в множество по любому возможному направлению, мы обязательно идем по направлению неубывания функции.

[alleut]

Brukvalub в сообщении #217626 писал(а):

Здесь производная функции- это ее градиент, он сам и все направления, образующие с ним нетупой угол, указывают направления неубывания функции.
Выписанное Вами условие как раз и означает, что, отправляясь от данной точки в множество по любому возможному направлению, мы обязательно идем по направлению неубывания функции.

но тогда ведь не нужна выпуклость функции

[Brukvalub]

Тогда, возможно, штришок сверху справа от функции означает не градиент, а какой-нибудь иной объект, присущий именно выпуклым функциям, типа субдифференциала?

[alleut]

Brukvalub в сообщении #217632 писал(а):

Тогда, возможно, штришок сверху справа от функции означает не градиент, а какой-нибудь иной объект, присущий именно выпуклым функциям, типа субдифференциала?

это градиент (в том смысле, что функция дифференцируема, если ее приращение представимо в виде $f(u+h)-f(u)=(f'(u),h)+o(u,h)$)
В общем случае, вышеуказанное неравенство - необходимое условие. А вот в случае выпуклой функции еще и достаточное. У меня есть пометка, что это прямым образом следует из выпуклости функции. Но как именно - не помню

[Brukvalub]

Тогда так: перепишем условие выпуклости в виде $\[f(x + t(z - x)) - f(x) \le t(f(z) - f(x))\;;\;0 < t \le 1.\]$
Из дифференцируемости, скажем, по Гато, следует, что
$\[\left\langle {f'(x)\;,\;t(z - x)} \right\rangle + \bar o_{(z - x)} (t) \le t(f(z) - f(x))\]$. Деля обе части на t и переходя к пределу, получаем неравенство $\[ \left\langle {f'(x)\;,\;(z - x)} \right\rangle \le f(z) - f(x) \]$
, что и доказывает достаточность условия для выпуклой функции.

[alleut]

Brukvalub в сообщении #217643 писал(а):

Тогда так: перепишем условие выпуклости в виде $\[f(x + t(z - x)) - f(x) \le t(f(z) - f(x))\;;\;0 < t \le 1.\]$
Из дифференцируемости, скажем, по Гато, следует, что
$\[\left\langle {f'(x)\;,\;t(z - x)} \right\rangle + \bar o_{(z - x)} (t) \le t(f(z) - f(x))\]$. Деля обе части на t и переходя к пределу, получаем неравенство $\[ \left\langle {f'(x)\;,\;(z - x)} \right\rangle \le f(z) - f(x) \]$
, что и доказывает достаточность условия для выпуклой функции.

тоже сойдет, спасибо )