интегрируемость функции по Риману

[Виктор Викторов]

Brukvalub в сообщении #217408 писал(а):

Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем по Риману.
Вот ни разу не пойму, при чем тут ее ограниченность?
Стандартные доказательства интегрируемости непрерывной на отрезке функции, которые не используют критерия Лебега и не используют ограниченность.

Ещё раз. Из непрерывности на замкнутом отрезке следует интегрируемость по Риману и ограниченность. Но функция может быть интегрируема по Риману и в том случае, если она не непрерывна на всём отрезке. Если она непрерывна почти на всём отрезке, т.е. разрывна не более чем в счётном множестве точек. Но, если непрерывность на отрезке гарантирует ограниченность, то в этом случае (счётного множества разрывов) её ограниченность надо потребовать! А дальше читайте критерий Лебега.

[Brukvalub]

Виктор Викторов в сообщении #217429 писал(а):

Если она непрерывна почти на всём отрезке, т.е. разрывна не более чем в счётном множестве точек.

А здесь Вы демонстрируете незнание термина "почти на всём отрезке", за которым закреплен иной смысл.

[Виктор Викторов]

Brukvalub в сообщении #217395 писал(а):

Там из ограниченности функции делается вывод о ее интегрируемости по Риману.

Brukvalub в сообщении #217416 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #217413 писал(а):

Не надо вырывать из контекста.

Какой тут контекст? Объясните, зачем для обоснования интегрируемости непрерывной функции нужно ссылаться на ее ограниченность, а не прячьтесь за словом "контекст", иначе это тоже кое-что напоминает.

Итак:

Виктор Викторов в сообщении #217383 писал(а):

Ограниченность необходима, но не достаточна.
Если функция определена и непрерывна на отрезке, то она и ограничена на нём (первая теорема Вейерштрасса). Следовательно, тогда функция и интегрируема по Риману на отрезке.

Вы пишете:

Brukvalub в сообщении #217395 писал(а):

Там из ограниченности функции делается вывод о ее интегрируемости по Риману.

[Лиля]

Когда верхний и нижний Дарбусовы интегралы равны тогда и интегрируеться по Риманну функция

$$\int_a^bf(x)\,\mathrm dx:=\underline{\int_a^b}f(x)\,\mathrm dx=\overline{\int_a^b}f(x)\,\mathrm dx $$

[Виктор Викторов]

Brukvalub в сообщении #217436 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #217429 писал(а):

Если она непрерывна почти на всём отрезке, т.е. разрывна не более чем в счётном множестве точек.

А здесь Вы демонстрируете незнание термина "почти на всём отрезке", за которым закреплен иной смысл.

Ну, наконец, Вы кое-что нашли. Действительно имелось в виду, что непрерывность может нарушаться в множестве меры нуль и это не только счётное множество!

[Brukvalub]

Виктор Викторов в сообщении #217439 писал(а):

Итак:
Виктор Викторов в сообщении #217383 писал(а):
Ограниченность необходима, но не достаточна.
Если функция определена и непрерывна на отрезке, то она и ограничена на нём (первая теорема Вейерштрасса). Следовательно, тогда функция и интегрируема по Риману на отрезке.

Вы по-прежнему считаете, что слова: "Если функция определена и непрерывна на отрезке, то она и ограничена на нём (первая теорема Вейерштрасса). Следовательно, тогда функция и интегрируема по Риману на отрезке." адекватно разъясняют учащемуся роль ограниченности в свойстве "быть интегрируемой" для непрерывной функции? Особенно слово "Следовательно"?

[NatNiM]

Спасибо всем за помощь!
Вот нашла:
"Для интегрируемости функции определяющими характеристиками являются:
1) непрерывность (для непрерывной функции всегда можно построить интегральную сумму; по определению непрерывной функции и свойствам пределов для непрерывных функций построенная интегральная функция должна иметь конечный предел);
2) число и характер разрывов функции (если число разрывов конечно и они являются разрывами первого рода, то интегральную сумму можно построить как сумму интегральных сумм на каждом кусочке непрерывности функции);
3) ограниченость функции на отрезке интегрирования в сочетании с конечным числом разрывов (поскольку одним из основных элементов интегральной суммы является значение интегрируемой функции в точке, а предел интегральной суммы для существования интеграла должен быть конечен);
Соответственно, остальные характеристики "в одиночку" не являются определяющими (достаточными) для интегрируемости функции."

[AD]

NatNiM в сообщении #217536 писал(а):

Вот нашла:

Какая бредятина ... тем не менее, пункт 3 Вам подходит.
А вообще, поищите все-таки нормальный учебник.

[Виктор Викторов]

Brukvalub в сообщении #217386 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #217383 писал(а):

Если функция определена и непрерывна на отрезке, то она и ограничена на нём (первая теорема Вейерштрасса). Следовательно, тогда функция и интегрируема по Риману на отрезке.

Даааа-с. Один другого краше.....

Brukvalub в сообщении #217522 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #217439 писал(а):

Итак:
Виктор Викторов в сообщении #217383 писал(а):
Ограниченность необходима, но не достаточна.
Если функция определена и непрерывна на отрезке, то она и ограничена на нём (первая теорема Вейерштрасса). Следовательно, тогда функция и интегрируема по Риману на отрезке.

Вы по-прежнему считаете, что слова: "Если функция определена и непрерывна на отрезке, то она и ограничена на нём (первая теорема Вейерштрасса). Следовательно, тогда функция и интегрируема по Риману на отрезке." адекватно разъясняют учащемуся роль ограниченности в свойстве "быть интегрируемой" для непрерывной функции? Особенно слово "Следовательно"?

Brukvalub в сообщении #217395 писал(а):

Там из ограниченности функции делается вывод о ее интегрируемости по Риману.

Brukvalub! Вы научились цитировать. Браво. Конечно, фраза построена неудачно, но ошибки в ней нет. Я всё жду, когда Вы скажете, что иногда бываете не совсем правы. В школе, где я учился, учили атаковать проблему, а не оппонента. А Вы, даже ещё не начав спора, (в Вашем девизе) атакуете именно оппонента.

[Brukvalub]

Виктор Викторов в сообщении #217593 писал(а):

Конечно, фраза построена неудачно, но ошибки в ней нет.

Я все время говорю одно и то же: из-за такого построения этой "замечательно безошибочной" фразы у учащегося наверняка возникнет стойкое убеждение, что интегрируемость непрерывной на отрезке функции следует именно из ее ограниченности на отрезке, поэтому это очень плохая фраза. И я никогда не признаю себя неправым там, где я уверен в своей правоте.
Наверное, все дело в том, что мы с Вами учились в разных школах....
Да и годной для атаки проблемы там, где явно неправ оппонент, я не вижу!

[Виктор Викторов]

Brukvalub в сообщении #217598 писал(а):

мы с Вами учились в разных школах....

Вот именно!