Помогите разобраться в преобразовании цепочки Штейнера

[anermak]

Здравствуйте, про цепочку окружностей Штейнера написано здесь
http://mathworld.wolfram.com/SteinerChain.html

не могу разобраться, как преобразовать симметричное расположение в цепочку со смещением d , не врубился, что это за преобразованные значения радиусов и откуда они проводятся. Напишите плиз легкий незамысловатый алгоритм преобразования симметричной цепочки в смещенную.
Заранее огромное спасибо!!!!

[Алексей К.]

Преобразование вполне лёгкое-незамысловатое, но его "формульное обеспечение" так сразу не напишу (ну много писать). Может, с Вами по частям разберёмся.
Отмечу следующее.

Основные формулы --- преобразование инверсии (Вам оно известно?).

Формулы инверсии следует применять только к точкам самой окружности: центр окружности НЕ переходит в центр инвертированной окружности.
Посему, для вычисления её радиуса и центра следует производить дополнительные действия (расчёт по трём точкам, либо использование фактов касания, и пр.)

Книга Коксетера и Грейтцера "Geometry revisited" в русском переводе называется "Новые встречи с геометрией", а описанное преобразование --- поризм Штейнера. Гпава 5, параграф 8.

[anermak]

Алексей К.
Спасибо !!! Книгу скачал, попробую разобраться...

[Алексей К.]

Кстати --- умеете ли Вы оперировать комплексными числами?
Если да, то дробно-линейное отображение Вам знакомо?

[anermak]

Алексей К.
конечно знакомо,, но меня интересует построение циркулем и линейкой, максимум числовые значения координат центров.

[Алексей К.]

Циркулем и линейкой совсем просто.
Строите свою симметричную конфигурацию.
Выбираете цетнр инверсии --- тем самым задаёте характер "искажений".
Выбираете радиус инверсии --- тем самым задаёте масштаб.

Инверсно-сопряжённая точка циркулем и линейкой строится.
Инвертируете, например, все точки касания.
Окружность по трём точкам тоже циркулем и линейкой строится.

[Yu_K]

http://mathworld.wolfram.com/Inversion.html - формула (2) если нужны координаты центров и ее координатное представление (3) (4). Маткад без проблем строит картинку такой цепочки и даже цепочку сфер можно построить, а циркулем и линейкой это немного долго будет.

[Алексей К.]

Yu_K в сообщении #217031 писал(а):

- формула (2) если нужны координаты центров

В формулу (2), $OP\times OP'=k^2$, входит точка $O$ --- центр инверсии. Эта формула --- просто часть определения инверсии, и к центру инвертированной окружности отношения не имеет.
Для радиуса можно воспользоваться формулой $k_2=2k_0\cos\Psi_{01}-k_1$, где 0 --- окружность инверсии, 1,2 --- инвертируемая окружность и её образ, $k_i$ --- их кривизны с учётом знака $\Psi_{01}$ --- угол пересечения окружностей 0 и 1 (возможно, мнимый или комплексный типа $\pi+\mathrm{i}\delta$; но косинус действителен).

[Yu_K]

Алексей К. в сообщении #217062 писал(а):

Yu_K в сообщении #217031 писал(а):

- формула (2) если нужны координаты центров

В формулу (2), $OP\times OP'=k^2$, входит точка $O$ --- центр инверсии. Эта формула --- просто часть определения инверсии, и к центру инвертированной окружности отношения не имеет.
Для радиуса можно воспользоваться формулой $k_2=2k_0\cos\Psi_{01}-k_1$, где 0 --- окружность инверсии, 1,2 --- инвертируемая окружность и её образ, $k_i$ --- их кривизны с учётом знака $\Psi_{01}$ --- угол пересечения окружностей 0 и 1 (возможно, мнимый или комплексный типа $\pi+\mathrm{i}\delta$; но косинус действителен).

Слишком сложно. На самом деле - окружность при инверсии переходит в окружность, касающиеся окружности переходят в касающиеся окружности. Если есть две концентрические окружности, кольцо между которыми, заполнено касающимися окружностями - то вся картинка при инверсии перейдет в картинку окружностей, при этом внутренняя окружность перейдет во внешнюю, а внешняя перейдет во внутреннюю, а окружности цепочки сдеформируются в зависимости от положения центра инверсии и константы в формуле $(2)$.
На картинке зеленая окружность перешла в малиновую, окружности для красных кругов перешли в синие окружности. Смотря какую задачу ставит anermak, но рисуется все просто - только с использованием формулы $(2)$. А вот как отсюда вытекает теорема Понселе о вписанных и описанных многоугольниках - что-то я не совсем понимаю, просто помню - что они рядом стояли и вроде как-то связаны.



Почему то на вольфрамовском сайте (ссылка в первом сообщении топика) написано про эллипс. Видимо это ошибка - центры лежат на окружности. Может точки касания цепочки внутренних окружностей лежат на эллипсе?

Цитата:

The centers of the circles in a Steiner chain lie on an ellipse (Ogilvy 1990, p. 57). The lines of tangency passing through the contact points of neighboring circles in the chain are concurrent in a point. Furthermore, this is the same point at which the lines through the contact points of the inner and outer circles also concur (Wells 1991, p. 245).

[Алексей К.]

Yu_K в сообщении #217174 писал(а):

Почему то на вольфрамовском сайте (ссылка в первом сообщении топика) написано про эллипс. Видимо это ошибка - центры лежат на окружности.

Извините, не верится.
ГМТ центров семейства окружностей, касающихся двух данных окружностей, есть линия второго порядка (видимо, эллипс станет окружностью только если две данные окружности концентричны).
При игнорировании ориентации --- пара линий второго порядка.
Старательно ищу ссылку --- где я видел весёлые картинки на эту тему.

-- 26 май 2009, 23:47 --

Алексей К. в сообщении #216608 писал(а):

центр окружности НЕ переходит в центр инвертированной окружности.

[Yu_K]

http://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk3/cabrijava/
и есть еще эллипс Штейнера - http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%81_%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0 - картинки.

Алексей К. в сообщении #217433 писал(а):

(видимо, эллипс станет окружностью только если две данные окружности концентричны).

- но при инверсии окружности эллипс никак не получится.

[Алексей К.]

Yu_K в сообщении #217470 писал(а):

- но при инверсии окружности эллипс никак не получится.

А речь не идёт об инверсии. Здесь более сложное преобразование.

Первый вариант.

1. Берём единичную окружность в качестве окружности инверсии ($R^2=1$).
2. Берём произвольную окружность
   
   $$x=a+r\cos\varphi,\quad y=b+r\sin\varphi$$
   .
3. Инвертируем:
   
   $$x'=\dfrac{a+r\cos\varphi}{(a+r\cos\varphi)^2+(b+r\sin\varphi)^2},\quad y'=\dfrac{b+r\sin\varphi}{(a+r\cos\varphi)^2+(b+r\sin\varphi)^2}$$
   .
4. Тривиально исключаем $\varphi$ (линейная система отн. $\cos\varphi$, $\sin\varphi$). Получаем уравнение окружности-образа, $C(x',y';a,b,r)=0$. Выделяем её центр, т.е. приводим к виду $(x'-p)^2+(y'-q)^2-\varrho^2=0$.
5. Тем самым найдено преобразование $p(a,b,r)$, $q(a,b,r)$. Убеждаемся, что оно никак не является инверсией.
6. Дополнительно: расположив точки $(a,b)$ на окружности $a(t),b(t)$, убеждаемся, что $[P(t)=p(a(t),b(t),r),\; Q(t)=q(a(t),b(t),r)]$ есть линия второго порядка.

Второй вариант.

Инвертируем окружность в прямую или наоборот. На этом частном случае убеждаемся, что центр оригинала не инвертируется в центр образа.

-- 27 май 2009, 08:16 --

Вот обсуждавшиеся ГМТы (показаны пунктиром):

[Yu_K]

Ну да понятно. Вот это и не умещалось у меня в голове - если взять и устремить радиусы $r$ к нулю семейства окружностей (центры которых лежат на другой окружности радиуса $R$) - то в пределе получаем преобразование (инверсию) семейства точек, лежащих на окружности радиуса $R$ - но при инверсии окружность переходит в окружность. Здесь не работает предельный переход. То что "образы центров семейства окружностей" будут лежать на окружности - очевидно, а вот "центры окружностей - образов семейства окружностей" оказывается вовсе не обязаны лежать на окружности.

[anermak]

Алексей К.
спасибо!!! теперь разобрался

[Yu_K]

Картинка - семейство окружностей на левом рисунке с центрами на синей окружности - переходит при инверсии в семейство окружностей на левом рисунке с центрами на эллипсе.



Вторая картинка с гиперболой

http://s44.radikal.ru/i106/0905/83/04f305f1cb11.gif