Найти полином с целыми коэффициентами и заданным корнем..

[Bolopak]

Здравствуйте! Подскажите пожалуйста метод решения задачи или пример решения
Задача звучит так: найти полином с целыми коэффициентами, корнем которого является число $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$

[AKM]

Я упростил себе задачку: найти полином с целыми коэффициентами, корнем которого является число $\sqrt{2}+\sqrt{3}$. И решил:
$x=\sqrt2+\sqrt3,$
$x-\sqrt2=\sqrt3,$
$(x-\sqrt2)^2=3,$
$x^2-2x\sqrt2+2=3,$
$x^2-1=2x\sqrt2,$
$(x^2-1)^2=8x^2,$
$x^4-10x^2+1=0.$
Ну, а в Вашем случае, наверное, чуть подольше покувыркаться надо будет.

[mkot]

Да, если не привлекать никаких сложных утверждений, то
обозначая данный элемент через $x$, рассмотрите последовательно степени $x$, $x^2$, $x^3$ и т. д. И затем рассматривайте какие-нибудь их комбинации
линейные комбинации, пытаясь уменьшить количество корней (не обязательно этих а можно и других) и т. д., пока не получится. (когда распишите $x^2$ и $x^4$ вы поймёте что надо сделать)

У меня таким несложным образом получилось следующее:
$x^{16}-112\,x^{14}+4928\,x^{12}-106624\,x^{10}+1152128\,x^8-5512192\,x^6+8114176\,x^4+6021120\,x^2-7925760$
(Это не в нарушение правил форума, а просто ответ, к которому можно стремиться, скорее всего получится другой ответ, даже проще, этот получен за 2 минуты в Maxime).

[AKM]

Возможно, это излишний педантизм, но я бы подкорректировал фразу

mkot в сообщении #217332 писал(а):

пытаясь уменьшить количество корней

так:
"пытаясь уменьшить количество радикалов". Или "крючочков".

[mkot]

AKM в сообщении #217333 писал(а):

"пытаясь уменьшить количество радикалов". Или "крючочков".

Я выбираю "радикалов".

-- Вт май 26, 2009 23:44:56 --

Да, всё-таки скажу про "сложный" способ.
Для решении задачи достаточно понять, как выглядит многочлен корнем которого является число $a + b$, если известны
аннулирующие многочлены для $a$ и $b$.

Пусть $f$ -- многочлен, т. ч. $f(a) = 0$, $g$ -- многочлен, т. ч. $g(b) = 0$. Пусть также $a_1, \ldots, a_n$ -- все корни $f$,
$b_1, \ldots, b_k$ -- корни $g$.
Рассмотрим многочлен $h(x) = \prod_{i, j} (x - a_i - b_j) = \sum_k a_k x^k$.
Заметим, что $a_k$ -- многочлены от $a_i, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_k$, симметричные от $a_i, \ldots, a_n$ и от $b_1, \ldots, b_k$. Отсюда следует, что эти коэффициенты выражаются через коэффициенты многочленов $f$ и $g$ рациональным образом (теорема о симметрических многочленах, теорема Виетта). Таким образом $h$ -- искомый многочлен, так как одним из корней его будет $a + b$.

Ну а для $\sqrt2$, $\sqrt3$ и $\sqrt5$ минимальные аннулирующие многочлены несложно придумать.

[Bolopak]

Спасибо за способы!
А у меня получился такой: $x^8-40x^6+352x^4-960x^2+576$
Но чтобы проверить, правильно или нет, придется, видимо, мат. пакет какой-нибудь установить

[AKM]

Правильно.
Достаточно внимательно проверить выкладки и вспомнить, что совсем недавно мы легко обходились даже без мобильных телефонов.

[mkot]

Ага, согласно Maxim'е правильно. А вы всё-таки первым способом решали?

[Bolopak]

mkot в сообщении #217353 писал(а):

Ага, согласно Maxim'е правильно. А вы всё-таки первым способом решали?

Угу, уравнением. $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$, а потом возводила в квадрат до тех пор, пока не остались только целые коэффициенты.