Доказательство "Правила Лопиталя" из учебника Зорича

[Brukvalub]

В разных формулах нужна разная гладкость.

[terminator-II]

Brukvalub в сообщении #217257 писал(а):

В разных формулах нужна разная гладкость.

всеравно, получается что самые слабые требования к гладкости в интегральной формуле остаточного члена, а он возникает из формулы интегрирования по частям

[Brukvalub]

terminator-II в сообщении #217272 писал(а):

всеравно, получается что самые слабые требования к гладкости в интегральной формуле остаточного члена, а он возникает из формулы интегрирования по частям

Не получается. Самые слабые требования - в формуле с остаточным членом в локальной (Пеано) форме, требования усиливаются для ост. члена в формах Лагранжа и Коши, и наиболее сильны для ост. члена в интегральной форме.

[terminator-II]

Brukvalub в сообщении #217282 писал(а):

terminator-II в сообщении #217272 писал(а):

всеравно, получается что самые слабые требования к гладкости в интегральной формуле остаточного члена, а он возникает из формулы интегрирования по частям

Не получается. Самые слабые требования - в формуле с остаточным членом в локальной (Пеано) форме, требования усиливаются для ост. члена в формах Лагранжа и Коши, и наиболее сильны для ост. члена в интегральной форме.

это интересно. давайте по порядку. $f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)x^k+r_n(x)$
в интегральной форме имеем $r_{int}(x,n)=\frac{1}{n!}\int_0^x(x-t)^ndf^{(n)}(t)$
для того, что бы этот интеграл Стилтьеса был определен, достаточно что бы функция $f^{(n)}(x)$ имела ограниченную вариацию на интервале $|x|\le \varepsilon$
а для того, что бы была верна оценка $r_{int}(x,n)=o(x^n)$ еще надо добавить условие непрерывности функции $f^{(n)}(x)$ в нуле.
напомните мне пожалуйста о каких более слабых условиях Вы говорите в связи с остаточным членом в форме Пеано.


а ну да ну да понятно

[Brukvalub]

terminator-II в сообщении #217323 писал(а):

для того, что бы этот интеграл Стилтьеса был определен, достаточно что бы функция $f^{(n)}(x)$ имела ограниченную вариацию на интервале $|x|\le \varepsilon$

Я рассуждал с остаточным членом в виде интеграла Римана а не Стилтьеса. Из одного лишь существования интеграла Стилтьеса никакой полезной информации не наблюдается....

terminator-II в сообщении #217323 писал(а):

напомните мне пожалуйста о каких более слабых условиях Вы говорите в связи с остаточным членом в форме Пеано.

О стандартных. Достаточно, чтобы в центре разложения существовала (n+1)-я производная.

[terminator-II]

Brukvalub в сообщении #217329 писал(а):

Я рассуждал с остаточным членом в виде интеграла Римана а не Стилтьеса. Из одного лишь существования интеграла Стилтьеса никакой полезной информации не наблюдается....

давайте всетаки проясним ситуацию. я про одно лишь существование не писал, я писал про непрерывность $f^{(n)}$ в нуле

Brukvalub в сообщении #217329 писал(а):

Достаточно, чтобы в центре разложения существовала (n+1)-я производная.

ну вот, а в терминах интеграла Стилтьеса не нужно этого

[Brukvalub]

terminator-II в сообщении #217330 писал(а):

давайте всетаки проясним ситуацию. я про одно лишь существование не писал, я писал про непрерывность $f^{(n)}$ в нуле

Мой комментарий про бесполезность формы остаточного члена относился вот к этому фрагменту:

terminator-II в сообщении #217323 писал(а):

для того, что бы этот интеграл Стилтьеса был определен, достаточно что бы функция $f^{(n)}(x)$ имела ограниченную вариацию на интервале $|x|\le \varepsilon$

terminator-II в сообщении #217330 писал(а):

ну вот, а в терминах интеграла Стилтьеса не нужно этого

Зато нужно знать поведение n-й производной в окрестности центра разложения.

[terminator-II]

Brukvalub в сообщении #217337 писал(а):

terminator-II в сообщении #217330 писал(а):

давайте всетаки проясним ситуацию. я про одно лишь существование не писал, я писал про непрерывность $f^{(n)}$ в нуле

Мой комментарий про бесполезность формы остаточного члена относился вот к этому фрагменту:

terminator-II в сообщении #217323 писал(а):

для того, что бы этот интеграл Стилтьеса был определен, достаточно что бы функция $f^{(n)}(x)$ имела ограниченную вариацию на интервале $|x|\le \varepsilon$

terminator-II в сообщении #217330 писал(а):

ну вот, а в терминах интеграла Стилтьеса не нужно этого

Зато нужно знать поведение n-й производной в окрестности центра разложения.

выходит, что условия для разных остаточных членов разные, в терминах сильнее-слабее это не описывается. я как-то раньше об этом не задумывался. всегда выводил остаточный член интегральным способом, а потом из него уже остаточные члены остальных видов

[Brukvalub]

terminator-II в сообщении #217341 писал(а):

выходит, что условия для разных остаточных членов разные, в терминах сильнее-слабее это не описывается

Выходит - так.
Мне непонятен еще и "исторический" аспект изложения ф-лы Тейлора с остаточным членом сразу в интегральной форме, да еще и с интегралом Стилтьеса. Ведь традиционно ф-ла Тейлора почти завершает раздел "дифференциальное исчисление функций одной переменной", когда об интегралах еще и речи не шло...

[terminator-II]

Brukvalub в сообщении #217344 писал(а):

Мне непонятен еще и "исторический" аспект изложения ф-лы Тейлора

да "исторический" т.е. "педагогический" понятно, конечно, что в первом семестре интеграл Стилтьеса не рассказывают. ну мы ведь сейчас именно существо дела обсуждали, а не технику преподавания.
что касается преподавания, то в учебнике Смирнова именно так строится теория остаточный член --сперва в интегральной форме. (Другое дело, что если очень надо рассказать формулу Тейлора рано, то ее с остаточным членом в форме Пеано можно хоть правилом Лопиталя получить. ) мне кажется, что четкость генеральной линии и прямота доказательств это то ради чего можно кое-чем и пожертвовать.

[Brukvalub]

Да, я давно понял, что сила традиции много сильнее меня.