уравнение

[AKM]

galileopro в сообщении #217117 писал(а):

a2+c2=b2+d2
Решаем это и все

galileopro,
исправляем написание формул и всё.

[sartr14]

Цитата:

Там же ясно видно: обозначим радикальные выражения a, b, c, d и тогда
a+b=c+d
a2+c2=b2+d2
Решаем это и все

В этом случае приходим к $a\cdot c=b\cdot d$. На самом деле, к точно такому соотношению приводит замена $t=x+\frac{3}{x}$, и возведение в квадрат уравнения $\sqrt{7t-3}-\sqrt{3t-8}=\sqrt{8t-7}-\sqrt{2t-4}$. Ничего нового здесь нет.

[mihiv]

Проще сделать так:вычисляем $a^2-b^2=5x+ \dfrac{15}x+1, d^2-c^2=5x+ \dfrac{15}x+1$. Видим, что $a^2-b^2=d^2-c^2$ из условия имеем еще одно уравнение: $a+b=c+d$. Делим первое уравнение на второе и получаем $a-b=d-c$, складываем со вторым и находим $a=d$, т.е. $\sqrt {7x+\dfrac{21}x-3}= \sqrt{8x+ \dfrac{24}x-7}$

[bot]

Напишу чуть подробнее то, что писал вчера. Первый шаг - перегруппировка:

$ \sqrt{ 7x+\dfrac{21}{x}-3 } - \sqrt{ 8x+\dfrac{24}{x}-7 }=\sqrt{ 3x+\dfrac{9}{x}-8 }-\sqrt{2x+\dfrac{6}{x}-4 }$

Из равенства используем самую малость - левая и правая части имеют одинаковый знак. Если обе части неотрицательны, то из этой малости получаем

$$\Bigg\{\begin{matrix}7x+\frac{21}{x}-3\geqslant 8x+\frac{24}{x}-7\\ \\ 3x+\frac{9}{x}-8 \geqslant 2x+\frac{6}{x}-4 \end{matrix} \ \Rightarrow \Bigg\{\begin{matrix}x+\frac{3}{x}\leqslant 4\\ \\ x+\frac{3}{x}\geqslant 4\end{matrix} \ \Rightarrow x+\dfrac{3}{x}=4$$

Очевидно тот же результат $x+\dfrac{3}{x}=4$ получим в противоположном случае, когда обе части неположительны. Уравнение $x+\dfrac{3}{x}=4$ равносильно квадратному и следовательно имеет не более двух корней, корни $x=1$ и $x=3$ очевидны. Проверяем их непосредственной подстановкой в исходное уравнение и пишем ответ.

[TOTAL]

Первое, что приходит в голову.
Обозначим $t=x+3/x-4.$
Тогда $\left( \sqrt{8t+25}-\sqrt{7t+25} \right) + \left( \sqrt{3t+4}-\sqrt{2t+4} \right)=0.$
Откуда $t=0.$

[bot]

Да, если малость изменить самую малость, то ещё проще.