Помогите разобраться с задачами по квантовой статистике

[Sрy]

Задача 1

Исходя из соотношения неопределенности, оценить температуру вырождения протонной компоненты водородной плазмы ($n = 10^{18}$).
Какой статистикой (классической или квантовой) описывается состояние частиц в плазме при температуре $T = $ 1 эВ $(10^4 К)$?

Решение:

Из соотношения неопределенностей $\Delta p \Delta x \approx \hbar$, получаем импульс

$\Delta p \approx \hbar n^{1/3}$

Считаем, что $E = kT = \frac{p^2}{2m}$, где $T$ - температура вырождения, тогда

$T = \frac{p^2}{2mk} = \frac{n^{2/3}\hbar^2}{2mk}$

Вопрос

Не могу понять в чем ошибка в рассуждениях и есть ли она вообще.


Задача 2

Сколько процентов свободных электронов в металле при $T = 0K$ имеет кинетическую энергию, превышающую две трети максимальной?

Решение:

Распределение свободных электронов в металле при $T = 0$:

$dn = \left( \frac{\sqrt{2}m^{3/2}}{\pi^2\hbar^3} \right)\sqrt{E}dE$

$dn$ - концентрация электронов с энергией в интервале $(E, E + dE)$;
$n$ - концентрация электронов, имеющих энергию меньше $E_{max}$;
$n'$ - концентрация электронов, имеющих энергию в интервале $(\frac{2}{3}E_{max}, E_{max})$.
Тогда

$\frac{n'}{n} = \left( \frac{\int_{\frac{2}{3}E_{max}}^{E_{max}}\sqrt{E}\,dE} {\int_{0}^{E_{max}}\sqrt{E}\,dE} \right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Вопрос

Преподаватель подчеркнул мне формулу для $dn$, при этом не говорит конкретно, что он от меня хочет. Ввиду этого возникает вопрос, правильно ли я решал задачу, если нет, то какую формулу следует использовать (другой я не нашел), а если правильно, то каких существенных пояснений я ему не написал?

[ursa]

Во второй задаче может формула для $dn$ просто лишняя

[Sрy]

Цитата:

Во второй задаче может формула для $dn$ просто лишняя

Думаю, что не лишняя.

Но у меня появилась одна мысль. Возможно стоит обосновать применимость статистики Ферми-Дирака, явно указав, что электрон имеет спин 1/2 и относится к фермионам. Но, что еще можно написать - не знаю. Вроде решаю правильно.

[ursa]

Sрy в сообщении #216776 писал(а):

Но у меня появилась одна мысль. Возможно стоит обосновать применимость статистики Ферми-Дирака, явно указав, что электрон имеет спин 1/2 и относится к фермионам. Но, что еще можно написать - не знаю. Вроде решаю правильно.

Если задача практическая, то вряд ли. Вы в вычислениях интегралов ошиблись. У меня получилось $\frac{1}{9} \left(9-2 \sqrt{6}\right)$

[Sрy]

Цитата:

Если задача практическая, то вряд ли. Вы в вычислениях интегралов ошиблись. У меня получилось $\frac{1}{9} \left(9-2 \sqrt{6}\right)$

Да, в вычислениях действительно ошибка, спасибо.

Но, к сожалению, это мало что меняет. Вычисления у меня даже не посмотрели.

[leaderK]

По первой задаче есть такой вывод:
$\[p \geqslant \Delta p_x \geqslant \frac{\hbar }{{\Delta x}} = \frac{\hbar }{L}\]$ (L - некоторый характерный размер). Тогда энергия
$\[E = \frac{{p^2 }}{{2m}} \geqslant \frac{{\hbar ^2 }}{{2mL^2 }}\]$. С учётом того, что приведённая концентрация частиц
$\[n_0 = \frac{1}{{L^3 }}\]$ или $\[L = n_0^{ - \frac{1}{3}} \]$, окончательно получаем выражение для энергии
$\[E \geqslant \frac{{\hbar ^2 }}{{2m}}n_0^{\frac{2}{3}} \]$.
При $\[T = T_{vir} \]$ (где $ \[T_{vir} \]$ - температура вырождения) (на границе областей) энергии сравниваются, т.е. $\[E = \frac{{\hbar ^2 }}{{2m}}n_0^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}kT_{vir} \]$. Тогда температура вырождения
$\[T_{vir} = \frac{{\hbar ^2 n_0^{\frac{2}{3}} }}{{3mk}}\]$.
См. курс физики Детлафа, Яворского.
Более строгий вывод даёт: $\[T_{vir} = \frac{{2\pi \hbar ^2 n_0^{\frac{2}{3}} }}{{mk}}\]$. При решении задач мы пользовались именно этой формулой.