Доказательство "Правила Лопиталя" из учебника Зорича

[ellipse]

Как строго доказать, что можно сделать, что
$f(y)/g(x) \to 0$ и $g(y)/g(x) \to 0$?

[ewert]

$g(x)$ нигде не обращается в ноль (в силу строгой монотонности). По любому значению $g(x)$ можно выбрать $y$ так, чтобы числители были сколь угодно меньше знаменателя, например:

$$y=\sup\left\{t:\ t<{a+x\over2},\ |f(t)|<(x-a)\,|g(x)|,\ |g(t)|<(x-a)\,|g(x)|\right\}.$$

[terminator-II]

ellipse в сообщении #216374 писал(а):

Как строго доказать, что можно сделать, что
$f(y)/g(x) \to 0$ и $g(y)/g(x) \to 0$?

хотите немного крамолы? перепишите правило Лопиталя в интегральных терминах: вместо производных -- функции; вместо функций интегралы $\int^x$, и докажите. Во-первых это будет более общая формулировка, во-вторых это интуитивно удобней чем использовать формулу Коши, которая всеравно не разу ни где больше не используется

[ellipse]

terminator-II писал(а):

это интуитивно удобней чем использовать формулу Коши, которая всеравно не разу ни где больше не используется

Еще используется при выводе формулы остаточного члена в ф-ле Тейлора.

-- Сб май 23, 2009 17:02:21 --

Можно как-то доказать, что при данных условиях существует такая функция $y=t(x)$, что $t(x) \to 0$ при $x \to a+0$ и $f(t(x)) = o(g(x))$ при $x \to a+0$

Мне кажется так было бы красивее.

[terminator-II]

ellipse в сообщении #216462 писал(а):

Еще используется при выводе формулы остаточного члена в ф-ле Тейлора.

в этом виде формула Тейлора как раз выводится из правила Лопиталя, так, что второй раз применять теорему Коши не придется

[ellipse]

Цитата:

в этом виде формула Тейлора как раз выводится из правила Лопиталя, так, что второй раз применять теорему Коши не придется

Как выводится? Что-то я не соображу

[terminator-II]

ellipse в сообщении #216903 писал(а):

Цитата:

в этом виде формула Тейлора как раз выводится из правила Лопиталя, так, что второй раз применять теорему Коши не придется

Как выводится? Что-то я не соображу

что бы доказать, что остаточный член $g(x)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ равен $o(x^n)$
надо проверить, что $\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x^n}=0$

[inf76]

terminator-II в сообщении #216397 писал(а):

хотите немного крамолы? перепишите правило Лопиталя в интегральных терминах: вместо производных -- функции; вместо функций интегралы $\int^x$, и докажите. Во-первых это будет более общая формулировка, во-вторых это интуитивно удобней чем использовать формулу Коши, которая всеравно не разу ни где больше не используется

А Вы не могли бы привести эту формулировку и доказательство?

[terminator-II]

inf76 в сообщении #217134 писал(а):

terminator-II в сообщении #216397 писал(а):

хотите немного крамолы? перепишите правило Лопиталя в интегральных терминах: вместо производных -- функции; вместо функций интегралы $\int^x$, и докажите. Во-первых это будет более общая формулировка, во-вторых это интуитивно удобней чем использовать формулу Коши, которая всеравно не разу ни где больше не используется

А Вы не могли бы привести эту формулировку и доказательство?

Пусть функции $f,g:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}$ интегрируемы по Риману на любом отрезке своей обрасти определения, и начиная с достаточно больших $x$ функция $g$ знакопостоянна.

Утв. Предположим, что $\int_0^xg(s)ds\to \infty$ при $x\to +\infty$. Тогда если

$$\frac{f(x)}{g(x)}\to w$$

то

$$\frac{\int_0^xf(s)ds}{\int_0^xg(s)ds}\to w.$$

доказательтсво вполне очевидно. приводить не буду, если только не накопятся желающие его видеть

[RIP]

terminator-II в сообщении #216536 писал(а):

ellipse в сообщении #216462 писал(а):

Еще используется при выводе формулы остаточного члена в ф-ле Тейлора.

в этом виде формула Тейлора как раз выводится из правила Лопиталя, так, что второй раз применять теорему Коши не придется

Думаю, что имелся в виду остаточный член в общей форме (так это у нас называлось), т.е.

$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}\cdot\frac{(x-c)^n(\phi(x)-\phi(x_0))}{\phi'(c)}.$$

[terminator-II]

RIP в сообщении #217207 писал(а):

Думаю, что имелся в виду остаточный член в общей форме (так это у нас называлось), т.е.

$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}\cdot\frac{(x-c)^n(\phi(x)-\phi(x_0))}{\phi'(c)}.$$

такокго я и не видел даже. я знаю остаточный член в форме Коши, он получается когда формула Тейлора выводится последовательными интегрированиями по частям(формула Коши опять не используется ), из остаточного члена в Форме Коши выводится остаточный член в форме Лагранжа, и затем в форме Пеано.

[RIP]

Надо просто применить теорему Коши к функциям $\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k$ и $\phi(t)$ на отрезке с концами $x_0$ и $x$. При $\phi(t)=t$ получаем остаточный член в форме Коши, при $\phi(t)=(x-t)^{n+1}$ - в форме Лагранжа.

[terminator-II]

RIP в сообщении #217226 писал(а):

Надо просто применить теорему Коши к функциям $\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k$ и $\phi(t)$ на отрезке с концами $x_0$ и $x$. При $\phi(t)=t$ получаем остаточный член в форме Коши, при $\phi(t)=(x-t)^{n+1}$ - в форме Лагранжа.

остаточный член в форме Коши Вы отсюда никак не получите потому, что он интегральный

[RIP]

terminator-II в сообщении #217228 писал(а):

остаточный член в форме Коши Вы отсюда никак не получите потому, что он интегральный

У нас в курсе остаточным членом в форме Коши называлось то, что получается при $\phi(t)=t$. А тот, который в виде интеграла, так и назывался - остаточный член в интегральной форме.

-- Вт 26.5.2009 14:19:07 --

Вообще, прелесть теоремы Коши в том, что функции не предполагаются абсолютно непрерывными (правда, из условий теоремы следует абсолютная непрерывность той, которая в знаменателе).

[terminator-II]

RIP в сообщении #217229 писал(а):

terminator-II в сообщении #217228 писал(а):

остаточный член в форме Коши Вы отсюда никак не получите потому, что он интегральный

У нас в курсе остаточным членом в форме Коши называлось то, что получается при $\phi(t)=t$. А тот, который в виде интеграла, так и назывался - остаточный член в интегральной форме.

да, действительно, а у меня отложилось, что именно он и есть в форме Коши. Однако суть не в этом. я, собственно, хотел поставить вот какой вопрос. в курсах анализа принято выводить формулу тейлора несколько раз, при этом сначала ее выводят сложно и из частных соображений, которые далее скалярной функции одной переменной не обобщаются (ну или обобщаютсятоже с натугой). в то время как вывод формулы Тейлора интегрированием по частям совершенно нечувствителен к размерности пространств в которых действует отображение. и остаточный член в этом случае получается наиболее общим. спрашивается, почему не сделать сразу нормально?