Экстремум (ф-ции двух переменных)

[Мироника]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как найти экстремум такой функции

$$ y=(x^2+y^2)^3+4 $$

. Я нашла ч.п. первого порядка, приравняла их к 0 и нашла точку (0,0). Но в ней ч.п. второго порядка обращаются в ноль и что делать дальше?

[Полосин]

Вспомнить определение экстремума и немного подумать.

[Алексей К.]

Мироника в сообщении #215657 писал(а):

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как найти экстремум такой функции

$$ y=(x^2+y^2)^3+4 $$

.

А точно $ \fbox{y}=(x^2+y^2)^3+4\;?$Может, и правда, игры с неявной фунцией? Или всё-таки $z(x,y)?$

[Мироника]

Прошу прощения - конечно $z=(x^2+y^2)^3+4$
Но до меня кажется дошло, что делать дальше... выражение $x^2+y^2>0$ во всех точках М(х,у) из окрестности полученной критической тички (0,0). Следовательно, в этой окрестности $z(x,y)>4$ и $z(x,y)-z(0,0)>0$, значит (0,0) - точка минимума. Верно?

[Brukvalub]

Мироника в сообщении #215670 писал(а):

Верно?

Да.

[ewert]

Несколько жульническая задачка. Т.е. поскольку дифференциалы вплоть до пятого обращаются в ноль, ничего не остаётся делать, кроме как жульничать. И самый простой, наверное, способ жульничества таков. Сперва откидываем четвёрку -- она на положение точек экстремума не влияет. Затем выкидываем и куб -- он тоже не влияет в силу своей строгой монотонности. И исследуем на экстремум оставшуюся функцию $z=x^2+y^2$ (или не исследуем, а просто пишем ответ).

[bot]

Не понимаю, в чём Вы видите жульничество? Если следствие из определения неприменимо, то что остаётся делать? Впрочем, бывает и довольно часто, что определение использовать выгоднее чем следствие, даже если последнее применимо.

Мне вот нравится пример из Демидовича $z=xy\ln(x^2+y^2)$. В нём оба случая представлены - в четырёх точках применение второго дифференциала возможно, а 4-х других - нет. А с точки зрения трудозатрат выгоднее чуть-чуть подумать и вообще отказаться от его вычисления.

[мат-ламер]

bot. О каких восьми точках идёт речь в Вашем примере? Там, если перейти к полярным координатам вообще экстремумов не просматривается, кроме, возможно, седла в нуле.

-- Чт май 21, 2009 17:26:23 --

Открыл Демидовича. Задача 3639. Да, там в ответе два экстремума, которые соответствуют экстремумам $R^2*lnR$.

-- Чт май 21, 2009 17:30:53 --

Это меня Maple подвела. Чего-то она рисует чистое седло без экстремумов.

-- Чт май 21, 2009 17:37:20 --

Изменил масштаб в Maple. Стало видно 4 экстремума. (Насчёт двух я ошибся). Вывод - компьютеру хоть и доверяй, но проверяй.

[bot]

Там 4 точки экстремума и 4 седловых точки - поторопился я сказать, что в 4-х точках $(\pm 1,\pm 1)$ второй дифференциал не работает - работает во всех 8-и точках, но считать его лень, потому что в указанных 4-х точках сразу видно по знакам функции в окрестности, а в остальных четырёх

$$\Big(\pm\frac{1}{\sqrt{2e}}, \pm\frac{1}{\sqrt{2e}}\Big)$$

проводим небольшое рассуждение.
1. Функция имеет предел 0 в начале координат, доопределяем её там нулём.
2. Непрерывная функция внутри первой четверти единичного круга отрицательна, на границе этой области имеет значение 0, следовательно наименьшее значение достигается во внутренней точке, в частности в этой точке локальный минимум.
3. Внутри этой области имеется лишь одна стационарная точка .
Аналогично в остальных четвертях.
Для доопределённой функции седло в нуле тоже видно без очков по знакам функции в окрестности.

Чтобы представить оба случая - применимость второго дифференциала в одних стационарных точках и неприменимость в других можно было остановиться на другом примере из Демидовича №3625: $z=x^2y^3(6-x-y)$ - первоначально так и собирался, но потом заменил на №3639 - здесь второй дифференциал считать более лениво.

[ewert]

bot в сообщении #216064 писал(а):

, а в остальных четырёх

$$\Big(\pm\frac{1}{\sqrt{2e}}, \pm\frac{1}{\sqrt{2e}}\Big)$$

проводим небольшое рассуждение

Оно недостаточно небольшое. После перехода к полярным координатам переменные разделяются, и считать или оценивать практически вообще ничего не нужно (говоря формально -- матрица Гессе заведомо диагональна).

[bot]

Согласен, что с полярными координатами ещё проще. Ну дык это тоже жульничество?

[ewert]

bot в сообщении #216100 писал(а):

Согласен, что с полярными координатами ещё проще. Ну дык это тоже жульничество?

Подтверждаю смайлик, но всё же не соглашусь. Навык выбирать систему координат, наиболее адекватную каждой конкретной задаче -- это вовсе не жульничество, а вот именно навык.