Задача про Муху

[gris]

Если рассмотреть долю длины резинки, проползнутую мухой, то она будет монотонно возрастать от нуля до бесконечности при некоторой экстраполяции резинки за её конец.. Можно рассмотреть эту долю посекундно, предположив, что удлиннение резинки и проползание мухи происходят рывками.
Насчет гармонического ряда скажу, что как раз школьникам доступна его расходимость и кажущиеся парадоксы, с нею связаные (например о стопке сдвинутых доминошек). а вот дифуры они ещё слабо понимают.

[Eiktyrnir]

gris в сообщении #215501 писал(а):

Если рассмотреть долю длины резинки, проползнутую мухой, то она будет монотонно возрастать от нуля до бесконечности при некоторой экстраполяции резинки за её конец.. Можно рассмотреть эту долю посекундно, предположив, что удлиннение резинки и проползание мухи происходят рывками.
Насчет гармонического ряда скажу, что как раз школьникам доступна его расходимость и кажущиеся парадоксы, с нею связаные (например о стопке сдвинутых доминошек). а вот дифуры они ещё слабо понимают.

Теперь и мне все ясно. Спасибо за то, что наглядно объяснили...

[Архипов]

bert в сообщении #215278 писал(а):

Есть резинка длиной L=1 км один конец у которой закреплен,в начальный момент t=0 по резинке начинаеться двигаться муха со скоростью 1см/с и в тот же момент начинает двигаться другой конец резинки со скорстью 1км/c, резинка может уходить в бесконечность.Найти время за которое муха дойдет от закрепленного конца резинке к концу который движется.
P.S задача имет решение,хотя на первый взгляд кажется парадоксальной(или мне так кажется)

Если строго придерживаться условия задачи, то ответ таков: муха, двигаясь со скоростью 1 см/с относительно закрепленного конца, никогда не догонит другой конец, который движется со скоростью 1 км/с относительно закрепленного конца.
По умолчанию, скорости движения задаются относительно инерциальной системы отсчета. В тексте этой задаче не оговорено, что скорость мухи 1см/с задана относительно точки опоры на резинке, движущейся с переменной скоростью из-за перемещения мухи по резинке.

Все-таки эта задача физическая и математический фокус не должен нас вводить в заблуждение про разрешимость физической задачи.
Резинка в течение времени, не более 1 с, оборвется и считать пройденный мухой путь за следующую секунду бесполезно. Либо резинка с мухой не обладают массой, а являются геометрическими абстакциями. Дальше - больше. Точка опоры для резинки должна обладать значительной массой, чтобы резинка растягивалась с указанной скоростью 1 км/с (иначе скорость отсчитывать не от чего). Придется возвращаться на грешную Землю? Тогда в какую сторону, относительно радиуса Земли, направлена скорость удаляющегося конца резинки? И так далее....

[gris]

Архипов, Вы ещё забыли, что резинка постоянно утончается, и муха может с неё свалица. Тут есть ещё и биологический аспект - мухи стока не живут!
Но мы вполне можем обойти физические ограничения, взяв резинку длиной 1 м, оттягивая её конец со скоростью 1 см в час, а вместо мухи взять микроба. И спросив, с какой скоростью должен ползти микроб, чтобы достигнуть конца резинки ровно за время $t$. Или пока резинка не растянется до определённой длины. Тут уж без дифуров никуда...

[GraNiNi]

А если так.
Муха ползет по неподвижной резинке и преодолевает 1 км, достигая противоположного конца, за 100000 с.
Затем резинка мгновенно растягивается в бесконечность, где будет муха?

[Архипов]

gris в сообщении #215541 писал(а):

Но мы вполне можем обойти физические ограничения, взяв резинку длиной 1 м, оттягивая её конец со скоростью 1 см в час, а вместо мухи взять микроба.

Согласен, такие условия ближе к реальности. Но автор темы задал 1 км/с и 1 см/с, причем не задал систему отсчета для скорости мухи. Однако задачу решили. Против математического я не возражал, только оно не соответствовало условиям задачи.

[PapaKarlo]

gris в сообщении #215541 писал(а):

Но мы вполне можем обойти физические ограничения, взяв резинку длиной 1 м, оттягивая её конец со скоростью 1 см в час, а вместо мухи взять микроба. И спросив, с какой скоростью должен ползти микроб, чтобы достигнуть конца резинки ровно за время t. Или пока резинка не растянется до определённой длины.

Физические ограничения обойти не удастся (микробы - они в процессе эволюции не учли, что им по резинке придется ползать, поэтому лапками не обзавелись ), так что задача все же чисто математическая. А насчет неточности в условии задачи - в какой СО определяется скорость мухи - замечание справедливое. Сразу чувствуется, что задачу математик составлял, а не физик. Представляете, какой длины "шаг" (или с какой частотой) делает муха поблизости движущегося конца резинки. Это уже суперчечетка, а не ползание..

[truth]

Уважаемый ewert, приведите пожалуйста подробное решение вашего диф. уравнения - не могу подобраться. За ранее благодарен.

[gris]

Вы что, разучились линейные уравнения решать? икс равно у на вэ. Подставляем, приравниваем коэффициент при икс к нулю, находим вэ, подставляем опять и находим у.

[truth]

В д.у. я чайник по той простой причине, что мы их ещё не проходили. Но задача и её решение очень красивы и я прошу "на пальцах" показать решение. Обещаю, что во всём разберусь.

[truth]

Есть мысль. Пусть ускорение мухи постоянно. Преобразуем ур-ие

$$x^'=v_0+\frac{vx}{L_0+vt}$$

к виду $x^'-\frac{vx}{L_0+vt}=v_0$. Возьмём теперь от правой и левой частей производную 2 раза. После некоторых последующих преобразований получаем: $L_0x^''+vx^''t=0$. Следующий момент. Составим геом. пр. $...{xt},{x},{x^'},{x^'}...$. Знаменатель прогрессии $q= \frac{x^'}{x}=\frac{x^''}{x^'} $т. е. $x^''=\frac{{x^'}^2}{x}$. Надеюсь, это ни у кого не вызывает сомнения (Яркий пример - центростремительное ускорение). Рассуждая таким же образом, получаем $t=\frac{x^'}{x^''}$. Подставляем t в последнее уравнение и решаем его:

$$x=C_1+C_2e^-\frac{vt}{L_0}$$

. Получается, что коотдината мухи убывает по экспоненциальному закону - муха УСТАЕТ! (Прошу прощение за оформление)

P.S. Хотелось бы знать мнение уважаемого ewert.

[BloodFactory]

с увеличением длины резинки будет увеличиваться расстояние между точками самой резинки. Попробуйте прикрепить один конец резинки куда-нибудь, положить на неё, скажем. кусочек бумаги и потяните за конец. Бумажка сместитья относительно прикреплённого конца на некоторое расстояние. Следовательно, при нулевой скорости мухи относительно конца резинки (закреплённого естественно) муха всё-равно будет двигаться относительно земли (и самой резинки тоже). Это надо учесть, я думаю. Сам задачу не решал ещё, просто выдвинул мысль. Может уже баян

[DmitriyMB]

Хочу представить свое короткое решение(просьба сразу не пинать).
Заметим,что при увеличении длины резинки в n раз расстояние между любыми точками на резинке увеличивается в n раз
А теперь представьте довольно сложную конструкцию-прямоугольный лист,в первой полоске длина шнура и длина его единичного отрезка равна1, а если мы сместимся по этой полоске вниз на nединиц,то теперь строка описывает состояние шнура через n секунд так,что этот шнур виден с такой высоты так,чтобы он не изменился,а единичный отрезок уменьшиться в n раз,и пусть теперь мы в этом листе построим функцию сверху вниз так,чтобы любая выбранная строка описывала положение мухи,сразу видно,скорость изменения этой функции равна 1/x,а путь ,которая пройдет муха в этой системе координат будет равняться In(x),а тк путь равняется 1,то следовательно время будет равнятся числу Эйлера e, и сразу видно ,что муха всегда преодолеет расстояние до другого конца шнура при любой скорости ,и время будет расти экспонетоциально
P.S.Оно(решение) только на словах длинное, а мысленная прокрутка занимает мгновение,главное-понять идею
Жду критики

[OlegCh]

PapaKarlo в сообщении #217692 писал(а):

А насчет неточности в условии задачи - в какой СО определяется скорость мухи - замечание справедливое. Сразу чувствуется, что задачу математик составлял, а не физик.

В оригинале (у Гарднера) рассматривается дискретная постановка задачи - муха (в оригинале - червяк) проползает 1 см, останавливается; конец резинки растягивают на 1 км; муха проползает еще 1 см; канат растягивают еще на 1 км... Здесь СО явно определена, неточностей не возникает. Но одновременно возникает гармонический ряд. Я, когда взялся ее решать, тоже рассматривал непрерывный случай и решал всякие дифуры - так оно как-то удобнее показалось...