Задача про Муху

[bert]

Есть резинка длиной L=1 км один конец у которой закреплен,в начальный момент t=0 по резинке начинаеться двигаться муха со скоростью 1см/с и в тот же момент начинает двигаться другой конец резинки со скорстью 1км/c, резинка может уходить в бесконечность.Найти время за которое муха дойдет от закрепленного конца резинке к концу который движеться.
P.S задача иммет решение,хотя на первый взгляд кажеться парадоксальной(или мне так кажется)

[мат-ламер]

Не решая уравнений, мне кажется, что ответ $t=-1.00001$ сек.

[ewert]

$$t=(e^{10^5}-1)$$

сек. Ну, Муха -- она настырная.

[Eiktyrnir]

ewert в сообщении #215464 писал(а):

$$t=(e^{10^5}-1)$$

сек. Ну, Муха -- она настырная.

Уважаемый ewert, а можно поинтересоваться как вы пришли к этому ответу? В Университете у нас была подобная задача про жука, а про муху - немножечко другая (она (муха) у нас между двумя поездами едущими друг на встречу другу летала и летальным исходом для нее и поездов - надо было время ее жизни найти до момента столкновения - от одного поезда к другому и обратно она долетала).
Вот интересно - как вы решали (про настырную муху которая ползет по резинке)?

[ewert]

Тупо решал. Пусть $L_0=1 \text{км},$ $v_0=1 \text{см/сек},$ $V=1 \text{км/сек}.$ Длина резинки в зависимости от времени $L(t)=L_0+Vt,$ и если координата мухи (отн. закреплённого конца) $x(t),$ то её скорость

$$v(t)=v_0+{x(t)\over L(t)}\cdot V.$$

Т.е. имеем дифференциальное уравнение:

$$x'(t)=v_0+{V\,x\over L_0+Vt}, \qquad x(0)=0.$$

Решение:

$$x(t)={v_0\over V}\,\ln\left({L_0+Vt\over L_0}\right)\cdot(L_0+Vt).$$

Приравниваем к $L(t)=L_0+Vt$ и.

[Eiktyrnir]

ewert в сообщении #215473 писал(а):

Тупо решал. Пусть $L_0=1 \text{км},$ $v_0=1 \text{см/сек},$ $V=1 \text{км/сек}.$ Длина резинки в зависимости от времени $L(t)=L_0+Vt,$ и если координата мухи (отн. закреплённого конца) $x(t),$ то её скорость

$$v(t)=v_0+{x(t)\over L(t)}\cdot V.$$

Т.е. имеем дифференциальное уравнение:

$$x'(t)=v_0+{V\,x\over L_0+Vt}, \qquad x(0)=0.$$

Решение:

$$x(t)={v_0\over V}\,\ln\left({L_0+Vt\over L_0}\right)\cdot(L_0+Vt).$$

Приравниваем к $L(t)=L_0+Vt$ и.

Огромное вам спасибо. Все элементарно и просто оказывается. Честно признаюсь - только сейчас понимаю решение этой задачи (после приведенных вами выкладок). Мой приятель решал примерно так же, но правда тогда в университете я так и не понял этого решения. Спасибо за разъяснения.

[gris]

Eiktyrnir, это была задача про муху и про двух охотников. Чего ей летать между поездами? И была она не в университете, а в учебнике для 4-го класса ЦПШ.

А в задаче про муху на резинке видится гармонический ряд. Если скорость мухи сделать 1 км/сек, то он проступит явно.

[Eiktyrnir]

gris в сообщении #215482 писал(а):

Eiktyrnir, это была задача про муху и про двух охотников. Чего ей летать между поездами? И была она не в университете, а в учебнике для 4-го класса ЦПШ.

А в задаче про муху на резинке видится гармонический ряд. Если скорость мухи сделать 1 км/сек, то он проступит явно.

Хорошо я скажу за себя. В университете я интересовался некоторыми школьными задачами, которые мне не давались в школе или которыми я в школе не интересовался вообще. Очевидно отстал в развитии от более продвинутых людей (к примеру от вас ). Насчет мухи на резинке - да очень интересная задача. Насчет гармонического ряда несовсем понятно.

[мат-ламер]

К гармоническому ряду можно прийти и так. Введём масштабирование. Будем считать, что расстояние между концами резинки не изменяется и всегда равно 1км., а скорость мухи убывает со временем по гармоническому закону. Любопытно задачу переформулировать и так. Допустим Вселенная расширяется с большой и всё увеличивающейся скоростью. Наши космические корабли довольно медленные. Могут ли они за конечное время достичь любой точки Вселенной. Оказываются могут.

[Eiktyrnir]

мат-ламер в сообщении #215484 писал(а):

К гармоническому ряду можно прийти и так. Введём масштабирование. Будем считать, что расстояние между концами резинки не изменяется и всегда равно 1км., а скорость мухи убывает со временем по гармоническому закону. Любопытно задачу переформулировать и так. Допустим Вселенная расширяется с большой и всё увеличивающейся скоростью. Наши космические корабли довольно медленные. Могут ли они за конечное время достичь любой точки Вселенной. Оказываются могут.

Очень любопытно. А еще любопытнее, что гармонический ряд обладает свойством сходимости к некоторому конечному пределу и может быть как раз это свойство приводит к тому, что муха способна доползти, а корабли долететь... Здорово! Спасибо вам. Вы расширили мой кругозор довольно сильно... Искренне благодарю.

[gris]

мат-ламер, насчёт вселенной аналогия неверная. Вселенная расширяется, но при этом локальные расстояния не увеличиваются. Скорость мухи относительно начала резинки увеличивается, так как муха ползёт по резинке. А космические корабли летят в пустоте реактивным способом.

Eiktyrnir, я тоже люблю рассматривать школьные задачи и находить в них какое-то новое содержание. Мне нравится перечитывать старые номера Кванта или даже популярные по математике, которые я читал в детстве. Если моя невинная шутка Вас обидела, то я приношу свои извинения.

Но насчёт сходимости гармонического ряда к конечному пределу, Вы отожгли реально!!! Или это такая мощная скрытая ирония? Ухмылка профессионала? Ой, меня, кажется, опять понесло. Молчу, молчу...

[ewert]

А ещё вот что любопытно: кто-нибудь в курсе, при чём тут вообще хоть какой-то ряд?...

[gris]

Ряд минорирует интеграл. (можно так сказать?)

[ewert]

Пока нельзя. Пока нет никакого ряда -- нельзя. Потом тоже будет нельзя, поскольку минорирует ли, мажорирует ли -- всё равно не считает.

[Eiktyrnir]

gris в сообщении #215489 писал(а):

мат-ламер, насчёт вселенной аналогия неверная. Вселенная расширяется, но при этом локальные расстояния не увеличиваются. Скорость мухи относительно начала резинки увеличивается, так как муха ползёт по резинке. А космические корабли летят в пустоте реактивным способом.

Eiktyrnir, я тоже люблю рассматривать школьные задачи и находить в них какое-то новое содержание. Мне нравится перечитывать старые номера Кванта или даже популярные по математике, которые я читал в детстве. Если моя невинная шутка Вас обидела, то я приношу свои извинения.

Но насчёт сходимости гармонического ряда к конечному пределу, Вы отожгли реально!!! Или это такая мощная скрытая ирония? Ухмылка профессионала? Ой, меня, кажется, опять понесло. Молчу, молчу...

Нет вы меня не сколько не обидели - шутки и иронию я понимаю. Насчет гармонического ряда - это из области университетских шуток (естественно он расходящийся)... Если честно, то аналогия с космическим кораблем в пустом пространстве и бесконечно растяжимой резинкой - мягко говоря некорректна. Из области физики шутят - да. Мы так в универе шутили - строя немыслимые построения, а потом их опровергая здравым умом... Кстати не все опровергается, но многое...
Честно говоря про ряд я несовсем понял, но мне думается, что приведенное решение ewert весьма элегантно и очень ясное. Хотя и соглашусь, что одну и ту же задачу любопытно было бы решить разными способами...
Журнал Квант - выписывал вплоть до 2007 года...Уважаю очень журнал и приложение к нему...Думаю со следующего года возобновить подписку...